Considere a integral I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{35}{4}}} \int_{\frac{2 x^{2}}{5}}^{3+\sqrt{9-x^{2}}} x y^{1} d y d x
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas, I deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i) y \in[0, □ 6 ]
ii) x \in[0, □ ]
Para a segunda integral:
iii) y \in[ □ , □ ].
iv) x \in[0, □ ]
b) Ao transformar I para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i) \theta \in[0, □

Passo 1

O enunciado dá a integral
I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{35}{4}}}\int_{\frac{2x^{2}}{5}}^{3+\sqrt{9-x^{2}}} x\,y\,dy\,dx.
Perguntas que ele faz (resumo claro do que pedem):
  • (a) Ao inverter a ordem de integração em coordenadas cartesianas, a região precisa ser escrita como soma de integrais duplas. Preenchê‑se os limitantes: para a primeira integral (i) e (ii), e para a segunda (iii) e (iv).
  • (b) Ao passar para coordenadas polares, também será necessário somar integrais; pede‑se o limite angular da primeira integral em polares (i).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O domínio original é o conjunto de pontos (x,y) com 0\le x\le \sqrt{\frac{35}{4}},\qquad \frac{2x^{2}}{5}\le y\le 3+\sqrt{9-x^{2}}.
  • As curvas que delimitam a região são:
    • a parábola \;y=\dfrac{2}{5}x^{2}\; (ramo com x\ge0);
    • a semicircunferência superior da circunferência centrada em (0,3) e raio 3, dada por \;y=3+\sqrt{9-x^{2}}\;, que varia entre y=3 e y=6.
  • A região tem interseção entre essas duas curvas para algum x>0; teremos de encontrar esse ponto de interseção para determinar os limites ao inverter a ordem ou ao passar para polares.

Passo 2

Achemos o ponto(s) de interseção entre as duas curvas: resolver
\frac{2}{5}x^{2}=3+\sqrt{9-x^{2}}.
Motivação: o ponto de interseção define o valor de y em que a curva que é “menor” para x passa a ser a outra — isso determina onde dividir a integração por y.
Resolver passo a passo:
\frac{2}{5}x^{2}-3=\sqrt{9-x^{2}}.
Observação importante (controle de sinais): o lado direito é não negativo, então é necessário ter \dfrac{2}{5}x^{2}-3\ge0, i.e. x^{2}\ge \dfrac{15}{2}=7{,}5. Podemos isolar e elevar ao quadrado (sabendo que isso pode introduzir raízes extranhas que precisaremos descartar):
\left(\frac{2}{5}x^{2}-3\right)^{2}=9-x^{2}.
Expandindo e simplificando:
\frac{4}{25}x^{4}-\frac{12}{5}x^{2}+9=9-x^{2}.
\frac{4}{25}x^{4}-\frac{12}{5}x^{2}+9-9+x^{2}=0
\frac{4}{25}x^{4}-\frac{7}{5}x^{2}=0.
Multiplicando por 25:
4x^{4}-35x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}(4x^{2}-35)=0.
Dessa equação obtemos x^{2}=0 e x^{2}=\dfrac{35}{4}. Testar ambos no contexto original (lembrando a condição \dfrac{2}{5}x^{2}-3\ge0):
  • x^{2}=0 \dfrac{2}{5}\cdot0-3=-3, o lado esquerdo é negativo, não pode ser igual ao \sqrt{\cdot}\ge0. Portanto x=0 é raiz extranha introduzida ao elevar ao quadrado e deve ser rejeitada.
  • x^{2}=\dfrac{35}{4} (ou seja x=\dfrac{\sqrt{35}}{2}) satisfaz a condição inicial e é a interseção válida.
Calcule o y correspondente substituindo em y=\dfrac{2}{5}x^{2}:
y=\frac{2}{5}\cdot\frac{35}{4}=\frac{70}{20}=\frac{7}{2}=3{,}5.
Verificação rápida na outra curva: y=3+\sqrt{9-x^{2}}=3+\sqrt{9-\tfrac{35}{4}}=3+\sqrt{\tfrac{1}{4}}=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}. Concorda.
Conclusão do passo: as curvas se cortam em y=\dfrac{7}{2} quando x=\dfrac{\sqrt{35}}{2}. O valor máximo de y na região é 6 (quando x=0 na circunferência), e o mínimo é 0 (na origem).

Passo 3

Decidir como inverter a ordem dy\,dx para dx\,dy.
Regra geral: para inverter, para cada valor fixo de y devemos encontrar o intervalo de x tal que o ponto (x,y) pertença à região. A região original tem x\ge0, então em dx\,dy teremos sempre x variando de 0 até a menor das duas curvas expressas como x em função de y.
Converter as duas curvas para x em função de y:
  • Da parábola y=\dfrac{2}{5}x^{2} obtemos, para x\ge0, x=\sqrt{\frac{5}{2}y}.(Explicação: isolar x^2=\dfrac{5}{2}y e tomar a raiz positiva porque temos x\ge0.)
  • Da semicircunferência superior y=3+\sqrt{9-x^{2}} isolamos: y-3=\sqrt{9-x^{2}}\quad\Rightarrow\quad (y-3)^{2}=9-x^{2}
x^{2}=9-(y-3)^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}
(Novamente tomamos a raiz positiva devido a x\ge0.)
Agora raciocinar para cada y qual é o limite de x: a condição de pertencer à região é simultaneamente
x\le\sqrt{\frac{5}{2}y}\quad\text{e}\quad x\le\sqrt{9-(y-3)^{2}},
ou seja x\in\big[0,\min\!\big(\sqrt{\tfrac{5}{2}y},\sqrt{9-(y-3)^{2}}\big)\big].
Para decidir onde a função \sqrt{\tfrac{5}{2}y} é a menor e onde \sqrt{9-(y-3)^{2}} é a menor, observamos que ambas se tornam iguais exatamente no ponto de interseção (x,y) já encontrado, que tem y=\tfrac{7}{2}. Portanto:
  • Para 0\le y\le \tfrac{7}{2}, tem-se \sqrt{\tfrac{5}{2}y}\le\sqrt{9-(y-3)^{2}} (a parábola fornece o limite direito).
  • Para \tfrac{7}{2}\le y\le 6, tem-se \sqrt{9-(y-3)^{2}}\le\sqrt{\tfrac{5}{2}y} (a circunferência fornece o limite direito).
Isso implica que, ao inverter a ordem, a região deve ser dividida em duas integrais em y:
Primeira faixa em y: y\in[0,\tfrac{7}{2}] com x\in\big[0,\sqrt{\tfrac{5}{2}y}\,\big].
Segunda faixa em y: y\in[\tfrac{7}{2},6] com x\in\big[0,\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}\,\big].

Passo 4

Escrevendo explicitamente a inversão da ordem (isto é a formulação final em cartesianas e confirmação das expressões para os limites):
A integral original pode ser escrita como soma de duas integrais (conforme a divisão de y em duas faixas):
I=\int_{y=0}^{\tfrac{7}{2}}\int_{x=0}^{\sqrt{\tfrac{5}{2}y}} x\,y\,dx\,dy \;+\; \int_{y=\tfrac{7}{2}}^{6}\int_{x=0}^{\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}} x\,y\,dx\,dy.
Portanto, os limitantes pedidos (cartesianos) são exatamente:
  • primeira integral: y\in\big[0,\tfrac{7}{2}\big] e x\in\big[0,\sqrt{\tfrac{5}{2}y}\,\big];
  • segunda integral: y\in\big[\tfrac{7}{2},6\big] e x\in\big[0,\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}\,\big].

Passo 5

Agora transformando a região para coordenadas polares (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta) e encontrando os limites angulares necessários.
Converter as curvas para polares:
  • A circunferência centrada em (0,3) com raio 3 tem equação
    x^{2}+(y-3)^{2}=9.
    Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta:
    r^{2}\cos^{2}\theta + (r\sin\theta-3)^{2}=9.
    Expandindo e usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1:
    r^{2}-6r\sin\theta+9=9 \quad\Rightarrow\quad r(r-6\sin\theta)=0.
    Descartando r=0 (origem isolada), obtemos a curva em polares
    r=6\sin\theta.
    Observação de interpretação: essa é a mesma circunferência, e o ramo superior corresponde a r\ge0 com \sin\theta\ge0, i.e. \theta\in[0,\pi]; mas como na região original temos x\ge0, ficamos com \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • A parábola y=\dfrac{2}{5}x^{2}. Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta:
    r\sin\theta=\frac{2}{5}r^{2}\cos^{2}\theta.
    Para r>0 podemos dividir por r e obter
    \sin\theta=\frac{2}{5}r\cos^{2}\theta.
    Isolando r,
    r=\frac{5}{2}\,\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.
    Observação: \dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=\tan\theta\operatorname{sec}\theta, logo outra forma útil é
    r=\frac{5}{2}\tan\theta\operatorname{sec}\theta.
Interpretação polar do domínio: para um dado ângulo \theta (com 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}), a região radial começa em r=0 e vai até a menor entre r=\dfrac{5}{2}\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} (parábola) e r=6\sin\theta (circunferência). Como no caso cartesiano, existe um ângulo de interseção \theta_{0} onde essas duas curvas se cortam; para \theta<\theta_{0} o limite radial é dado pela parábola, e para \theta>\theta_{0} é dado pela circunferência.

Passo 6

Determinar o ângulo de interseção \theta_{0} explicitamente.
No ponto de interseção já encontramos as coordenadas cartesianas (x,y)=\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2},\tfrac{7}{2}\big). Em polares, o ângulo \theta_{0} satisfaz
\tan\theta_{0}=\frac{y}{x}=\frac{\tfrac{7}{2}}{\tfrac{\sqrt{35}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{35}}=\sqrt{\frac{7}{5}}.
Podemos também obter \cos^{2}\theta_{0} verificando a igualdade das fórmulas para r:
igualmente ao resolver \dfrac{5}{2}\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=6\sin\theta (cancelando \sin\theta>0) obtemos
\frac{5}{2\cos^{2}\theta}=6\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\theta=\frac{5}{12},
o que é compatível com \tan^{2}\theta=\dfrac{1-\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{7/12}{5/12}=\dfrac{7}{5}.
Assim podemos escrever exatamente
\theta_{0}=\arctan\!\left(\sqrt{\frac{7}{5}}\right).

Passo 7

Conclusão para coordenadas polares (e resposta do item (b) pedido):
A primeira integral em polares corresponde à faixa de ângulos onde a parábola fornece o limite radial superior, ou seja \theta\in\big[0,\theta_{0}\big] com
\theta_{0}=\arctan\!\left(\sqrt{\frac{7}{5}}\right).
(Para completude: para \theta\in[0,\theta_{0}] tem r\in\big[0,\tfrac{5}{2}\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}\big]; para \theta\in[\theta_{0},\tfrac{\pi}{2}] tem r\in[0,6\sin\theta].)

Resposta

a.i) \;y\in\big[0,\tfrac{7}{2}\big]
a.ii) \;x\in\big[0,\sqrt{\tfrac{5}{2}y}\,\big]
a.iii) \;y\in\big[\tfrac{7}{2},6\big]
a.iv) \;x\in\big[0,\sqrt{\,9-(y-3)^{2}\,}\,\big]
b.i) \;\theta\in\Big[0,\arctan\!\big(\sqrt{\tfrac{7}{5}}\big)\Big]

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