Considere a integral
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i)
, □ 6 ]
ii)
, □ ]
Para a segunda integral:
iii)
□ , □ ].
iv)
, □ ]
b) Ao transformar I para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i)
, □
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i)
ii)
Para a segunda integral:
iii)
iv)
b) Ao transformar I para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i)
Passo 1
O enunciado dá a integral
Perguntas que ele faz (resumo claro do que pedem):
- (a) Ao inverter a ordem de integração em coordenadas cartesianas, a região precisa ser escrita como soma de integrais duplas. Preenchê‑se os limitantes: para a primeira integral (i) e (ii), e para a segunda (iii) e (iv).
- (b) Ao passar para coordenadas polares, também será necessário somar integrais; pede‑se o limite angular da primeira integral em polares (i).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- O domínio original é o conjunto de pontos
com - As curvas que delimitam a região são:
- a parábola
(ramo com ); - a semicircunferência superior da circunferência centrada em
e raio , dada por , que varia entre e .
- a parábola
- A região tem interseção entre essas duas curvas para algum
; teremos de encontrar esse ponto de interseção para determinar os limites ao inverter a ordem ou ao passar para polares.
Passo 2
Achemos o ponto(s) de interseção entre as duas curvas: resolver
Motivação: o ponto de interseção define o valor de
em que a curva que é “menor” para
passa a ser a outra — isso determina onde dividir a integração por
.
Resolver passo a passo:
Observação importante (controle de sinais): o lado direito é não negativo, então é necessário ter
, i.e.
. Podemos isolar e elevar ao quadrado (sabendo que isso pode introduzir raízes extranhas que precisaremos descartar):
Expandindo e simplificando:
Multiplicando por
:
Dessa equação obtemos
e
. Testar ambos no contexto original (lembrando a condição
):
-
dá , o lado esquerdo é negativo, não pode ser igual ao . Portanto é raiz extranha introduzida ao elevar ao quadrado e deve ser rejeitada. -
(ou seja ) satisfaz a condição inicial e é a interseção válida.
Calcule o
correspondente substituindo em
:
Verificação rápida na outra curva:
. Concorda.
Conclusão do passo: as curvas se cortam em
quando
. O valor máximo de
na região é
(quando
na circunferência), e o mínimo é
(na origem).
Passo 3
Decidir como inverter a ordem
para
.
Regra geral: para inverter, para cada valor fixo de
devemos encontrar o intervalo de
tal que o ponto
pertença à região. A região original tem
, então em
teremos sempre
variando de
até a menor das duas curvas expressas como
em função de
.
Converter as duas curvas para
em função de
:
- Da parábola
obtemos, para , (Explicação: isolar e tomar a raiz positiva porque temos .) - Da semicircunferência superior
isolamos:
(Novamente tomamos a raiz positiva devido a
.)
Agora raciocinar para cada
qual é o limite de
: a condição de pertencer à região é simultaneamente
ou seja
.
Para decidir onde a função
é a menor e onde
é a menor, observamos que ambas se tornam iguais exatamente no ponto de interseção
já encontrado, que tem
. Portanto:
- Para
, tem-se (a parábola fornece o limite direito). - Para
, tem-se (a circunferência fornece o limite direito).
Isso implica que, ao inverter a ordem, a região deve ser dividida em duas integrais em
:
Primeira faixa em
:
com
.
Segunda faixa em
:
com
.
Passo 4
Escrevendo explicitamente a inversão da ordem (isto é a formulação final em cartesianas e confirmação das expressões para os limites):
A integral original pode ser escrita como soma de duas integrais (conforme a divisão de
em duas faixas):
Portanto, os limitantes pedidos (cartesianos) são exatamente:
- primeira integral:
e ; - segunda integral:
e .
Passo 5
Agora transformando a região para coordenadas polares
e encontrando os limites angulares necessários.
Converter as curvas para polares:
-
A circunferência centrada em
com raio tem equação Substituindo, : Expandindo e usando: Descartando(origem isolada), obtemos a curva em polares Observação de interpretação: essa é a mesma circunferência, e o ramo superior corresponde acom , i.e. ; mas como na região original temos , ficamos com . -
A parábola
. Substituindo , : Parapodemos dividir por e obter Isolando, Observação:, logo outra forma útil é
Interpretação polar do domínio: para um dado ângulo
(com
), a região radial começa em
e vai até a menor entre
(parábola) e
(circunferência). Como no caso cartesiano, existe um ângulo de interseção
onde essas duas curvas se cortam; para
o limite radial é dado pela parábola, e para
é dado pela circunferência.
Passo 6
Determinar o ângulo de interseção
explicitamente.
No ponto de interseção já encontramos as coordenadas cartesianas
. Em polares, o ângulo
satisfaz
Podemos também obter
verificando a igualdade das fórmulas para
:
igualmente ao resolver (cancelando
) obtemos
igualmente ao resolver
o que é compatível com
.
Assim podemos escrever exatamente
Passo 7
Conclusão para coordenadas polares (e resposta do item (b) pedido):
A primeira integral em polares corresponde à faixa de ângulos onde a parábola fornece o limite radial superior, ou seja
com
(Para completude: para
tem
; para
tem
.)
Resposta
a.i)
a.ii)
a.iii)
a.iv)
b.i)
a.ii)
a.iii)
a.iv)
b.i)