Considere a integral integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 d x d y:
(b)(2.0) Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 , dx , dy. Esse tipo de integral faz parte do cálculo de integrais múltiplas, especificamente envolvendo duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O y varia de 0 a 8 e, para cada y, o x varia de raiz[3]y até 2. Vamos tentar inverter essa ordem de integração para facilitar.

Passo 3

Para inverter, precisamos determinar os limites para x e y quando x é a primeira variável. Observando os limites:
  • x varia de 0 a 2.
  • Para cada x, y varia de 0 até x^3 (já que y = x^3).
Então, a integral fica:
integral0^2 integral0^x^3 e^x^4 , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y primeiro. Como e^x^4 não depende de y, a integral interna é simples:
integral0^x^3 e^x^4 , dy = e^x^4 cdot y |0^x^3 = e^x^4 cdot x^3
Então, a integral se simplifica para:
integral0^2 e^x^4 cdot x^3 , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a x. Para isso, usamos uma substituição. Vamos deixar u = x^4, então:
du = 4x^3 , dx Rightarrow x^3 , dx = du4
Substituindo na integral:
integral0^2 e^x^4 cdot x^3 , dx = 14 integral0^16 e^u , du

Passo 6

Agora, integremos e^u em relação a u:
14 integral0^16 e^u , du = 14 ( e^u |0^16 ) = 14 (e^16 - 1)

Resposta

O valor da integral é e^16 - 14.

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