Os termos da seqüência definida pela recorrência
e
podem ser gerados introduzindo 5 e pressionando repetidas vezes a tecla
.
Mostre que
e ache
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é a raiz quadrada do termo anterior, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que a fórmula geral dessa sequência é
e descobrir qual é o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas, potências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para entender o padrão. Sabemos que:
Vemos que cada termo está elevando 5 a uma potência que é uma fração com denominador
. Isso sugere que a fórmula geral seja
.
Passo 3
Vamos provar que essa fórmula funciona para qualquer
usando o método da indução matemática.
Base da Indução (
):
Quando , a fórmula dá
.
Mas sabemos que . Aqui percebemos que houve um pequeno ajuste: na verdade, a fórmula correta deveria ser . Portanto, ajustando:
Quando
Mas sabemos que
Para
:
, que bate certinho com o dado inicial.
Passo Indutivo:
Assumimos que para algum , é verdadeiro. Queremos mostrar que .
Assumimos que para algum
Sabemos que .
Assim, a fórmula vale para
sempre que vale para
, completando a indução. Portanto, a fórmula geral está correta: .
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite da sequência quando
tende ao infinito: .
Observemos que
cresce muito rápido quando
aumenta, então
tende a zero. Então temos:
.
Portanto, o limite da sequência é 1.
Resposta
A fórmula geral da sequência é e o limite quando
tende ao infinito é
.