Os termos da seqüência definida pela recorrência a1=5 e ak+1=raizak podem ser gerados introduzindo 5 e pressionando repetidas vezes a tecla raizx.
Mostre que an=5^1 / 2^n e ache lim n infty an

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência onde o primeiro termo é a1 = 5 e cada termo seguinte é a raiz quadrada do termo anterior, ou seja, ak+1 = raizak. Nosso objetivo é mostrar que a fórmula geral dessa sequência é an = 5^1 / 2^n e descobrir qual é o limite dessa sequência quando n tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas, potências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para entender o padrão. Sabemos que:
  • a1 = 5
  • a2 = raiza1 = raiz5 = 5^1/2
  • a3 = raiza2 = raiz5^1/2 = 5^1/4
  • a4 = raiza3 = raiz5^1/4 = 5^1/8
Vemos que cada termo está elevando 5 a uma potência que é uma fração com denominador 2^n. Isso sugere que a fórmula geral seja an = 5^1 / 2^n.

Passo 3

Vamos provar que essa fórmula funciona para qualquer n usando o método da indução matemática.
Base da Indução ( n=1):
Quando n=1, a fórmula dá a1 = 5^1/2^1 = 5^1/2 = raiz5.
Mas sabemos que a1 = 5. Aqui percebemos que houve um pequeno ajuste: na verdade, a fórmula correta deveria ser . Portanto, ajustando:
Para an = 5^1 / 2^n-1: n=1, que bate certinho com o dado inicial.
Passo Indutivo:
Assumimos que para algum a1 = 5^1 / 2^0 = 5^1 = 5, é verdadeiro. Queremos mostrar que .
Sabemos que .
Assim, a fórmula vale para k >= 1 sempre que vale para ak = 5^1 / 2^k-1, completando a indução. Portanto, a fórmula geral está correta: .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite da sequência quando n tende ao infinito: .
Observemos que limn infty an = limn infty 5^1 / 2^n-1 cresce muito rápido quando 2^n-1 aumenta, então n tende a zero. Então temos:
.
Portanto, o limite da sequência é 1.

Resposta

A fórmula geral da sequência é e o limite quando an = 5^1 / 2^n-1 tende ao infinito é n.

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