Inverta a ordem de integração, integrando primeiro em y e depois em x para calcular a integral
integral0^1 integralraizy^1 raizx^3+1 d x d y

Passo 1

A gente precisa inverter a ordem de integração da integral dupla integral0^1integralraizy^1raizx^3+1,dx,dy e depois calcular seu valor. O assunto principal aqui é trocar a ordem das integrais usando a descrição do domínio e, em seguida, aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Olha o domínio original: para y vai de 0 até 1 e, para cada y, x vai de raizy até 1. Em forma de desigualdades:
0 <= y <= 1, raizy <= x <= 1
Como x>=raizy é equivalente a y<= x^2, a região D pode ser descrita como
$$
D={(x,y):0\le x\le1,;0\le y\le x^{2}}.$$

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, primeiro integramos em y e depois em x. Assim a integral fica
integral0^1integralraizy^1raizx^3+1,dx,dy = integral0^1integral0^x^2raizx^3+1,dy,dx

Passo 4

Como a função raizx^3+1 não depende de y, a integral interna é simples:
integral0^x^2raizx^3+1,dy = x^2raizx^3+1
Logo a integral vira
integral0^1x^2raizx^3+1,dx

Passo 5

Para resolver integral0^1x^2raizx^3+1,dx, fazemos a troca de variável
t = x^3+1, dt = 3x^2,dx implies x^2,dx = dt3
Quando x=0, t=1; quando x=1, t=2. A integral se torna
integral0^1x^2raizx^3+1,dx = 13integral1^2t^1/2,dt

Passo 6

Basta integrar em t:
13integral1^2t^1/2,dt = 13cdot23l[t^3/2r]1^2 = 29l(2^3/2-1r)

Resposta

29l(2raiz2-1r)

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