Inverta a ordem de integração, integrando primeiro em
e depois em
para calcular a integral
Passo 1
A gente precisa inverter a ordem de integração da integral dupla
e depois calcular seu valor. O assunto principal aqui é trocar a ordem das integrais usando a descrição do domínio e, em seguida, aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Olha o domínio original: para
vai de 0 até 1 e, para cada
,
vai de
até 1. Em forma de desigualdades:
Como
é equivalente a
, a região
pode ser descrita como
$$
D={(x,y):0\le x\le1,;0\le y\le x^{2}}.$$
Passo 3
Invertendo a ordem de integração, primeiro integramos em
e depois em
. Assim a integral fica
Passo 4
Como a função
não depende de
, a integral interna é simples:
Logo a integral vira
Passo 5
Para resolver
, fazemos a troca de variável
Quando
,
; quando
,
. A integral se torna
Passo 6
Basta integrar em
: