Vamos demonstrar a expressão geral para o volume de um cone circular de altura
e raio da base
.
Representando o cone com o vértice na origem e base no plano
, expresse
por meio de uma integral dupla.
Representando o cone com o vértice na origem e base no plano
Passo 1
O enunciado pede para derivar a expressão do volume de um cone circular de altura
e raio da base
, posicionando o vértice na origem e a base no plano
. O conteúdo é integração dupla para volumes, e vamos precisar identificar a função que dá a altura
do cone sobre cada ponto
da projeção no plano
.
Passo 2
Para usar integração dupla, lembramos que o volume pode ser escrito como
. Aqui
e a superfície lateral do cone satisfaz
, ou seja
. A região
é o disco
.
Passo 3
Para simplificar o cálculo, trocamos para coordenadas polares:
,
, e
. Além disso,
e o disco vira
,
. Portanto, o volume fica expresso pela integral dupla