Vamos demonstrar a expressão geral para o volume de um cone circular de altura h e raio da base R.
Representando o cone com o vértice na origem e base no plano z=h, expresse V por meio de uma integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a expressão do volume de um cone circular de altura h e raio da base R, posicionando o vértice na origem e a base no plano z=h. O conteúdo é integração dupla para volumes, e vamos precisar identificar a função que dá a altura z do cone sobre cada ponto (x,y) da projeção no plano xy.

Passo 2

Para usar integração dupla, lembramos que o volume pode ser escrito como V=integral duplaDl(ztop(x,y)-zbot(x,y)r),dA. Aqui zbot=0 e a superfície lateral do cone satisfaz r=(R/h)z, ou seja ztop(x,y)=tfrachRraizx^2+y^2. A região D é o disco x^2+y^2<= R^2.

Passo 3

Para simplificar o cálculo, trocamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, e dA=r,dr,dtheta. Além disso, raizx^2+y^2=r e o disco vira 0<= r<= R, 0<=theta<=2pi. Portanto, o volume fica expresso pela integral dupla
V=integral0^2piintegral0^Rl(ztop-0r),r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^RhR,r;r,dr,dtheta

Resposta

V=integral0^2piintegral0^RhR,r^2,dr,dtheta

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