Considere a integral , em que é a região do plano delimitada e compreendida entre as retas e . Faça o que se pede:
(a) Obtenha e em função de novas variáveis e calcule o determinante Jacobiano relativo a ela. Sugestão: Considere: e . Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral dupla , onde a região está delimitada pelas retas , , e . Nosso objetivo aqui é mudar de variáveis para facilitar a resolução da integral e, para isso, vamos usar uma substituição inteligente. Vamos precisar entender um pouco sobre troca de variáveis em integrais múltiplas e como calcular o determinante Jacobiano, que ajusta a escala quando mudamos de sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir novas variáveis que simplifiquem os limites da nossa região . A sugestão é usar:
Agora, precisamos expressar e em função de e .
Temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante Jacobiano, que nos ajuda a ajustar a integral quando mudamos de variáveis. O determinante Jacobiano é dado por:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais:
partial xpartial u = partialpartial u(v - u2) = -12
partial xpartial v = partialpartial v(v - u2) = 12
partial ypartial u = partialpartial u(u + v2) = 12
partial ypartial v = partialpartial v(u + v2) = 12