Considere a integral integralR integral e^y-xy+x d x d y, em que R é a região do plano x y delimitada e compreendida entre as retas x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. Faça o que se pede:
(a) Obtenha x e y em função de novas variáveis e calcule o determinante Jacobiano relativo a ela. Sugestão: Considere: u=y-x e v=y+x. Resp.: J=-1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral dupla integralR integral e^y-xy+x , dx , dy, onde a região R está delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2, x = 0 e y = 0. Nosso objetivo aqui é mudar de variáveis para facilitar a resolução da integral e, para isso, vamos usar uma substituição inteligente. Vamos precisar entender um pouco sobre troca de variáveis em integrais múltiplas e como calcular o determinante Jacobiano, que ajusta a escala quando mudamos de sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir novas variáveis que simplifiquem os limites da nossa região R. A sugestão é usar:
u = y - x e v = y + x
Agora, precisamos expressar x e y em função de u e v.
Temos o sistema de equações:
u = y - x v = y + x
Somando as duas equações:
u + v = (y - x) + (y + x) Rightarrow u + v = 2y Rightarrow y = u + v2
Subtraindo a primeira da segunda:
v - u = (y + x) - (y - x) Rightarrow v - u = 2x Rightarrow x = v - u2
Então, temos:
x = v - u2 e y = u + v2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante Jacobiano, que nos ajuda a ajustar a integral quando mudamos de variáveis. O determinante Jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais:
  • partial xpartial u = partialpartial u(v - u2) = -12
  • partial xpartial v = partialpartial v(v - u2) = 12
  • partial ypartial u = partialpartial u(u + v2) = 12
  • partial ypartial v = partialpartial v(u + v2) = 12
Agora, montamos a matriz Jacobiana:
J = -12 & 12 12 & 12
Calculando o determinante:
J = (-12) cdot (12) - (12) cdot (12) = -14 - 14 = -24 = -12

Resposta

O determinante Jacobiano é -12.

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