Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=x^3 ln (x+4)

Passo 1

A questão pede para encontrar a série de Maclaurin de f(x)=x^3ln(x+4) e determinar seu raio de convergência. Vamos usar expansão de ln(1+u) e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos f(x) separando uma parte constante: começamos com x+4=4l(1+tfracx4r). Então
ln(x+4)=ln4+lnl(1+x4r)

Passo 3

Lembrando a série de Maclaurin de ln(1+u):
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn, |u|<1,

Passo 4

substituímos u=tfracx4 e obtemos
lnl(1+tfracx4r)=sumn=1^infty(-1)^n-11nl(tfracx4r)^n, |x|<4

Passo 5

Agora multiplicamos por x^3:
f(x)=x^3ln4+ x^3sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,4^n = x^3ln4+sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+3n,4^n

Passo 6

Se quisermos reindexar em k=n+3, escrevemos
f(x)=x^3ln4+sumk=4^infty(-1)^k-4x^k(k-3),4^k-3, |x|<4

Passo 7

A condição de convergência vem de |x/4|<1, logo o raio de convergência é R=4.

Resposta

f(x)=x^3ln4+sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+3n,4^n, |x|<4
Raio de convergência: R=4.

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