Determine a área da região do primeiro quadrante do plano x y delimitado pelas curvas x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, y=raiz3 x e y=raiz33 x. Resp.: pi / 4.

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar a área na região do primeiro quadrante do plano xy que está limitada por duas circunferências, x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, e por duas retas, y=raiz3 x e y=raiz33 x. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como áreas de setores circulares e interseção com retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas circunferências. A equação x^2+y^2=1 representa um círculo com raio 1 e centro na origem (0,0). Já a equação x^2+y^2=4 representa um círculo com raio 2, também centrado na origem. Essas duas circunferências vão criar uma espécie de “anel” no plano.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as duas retas: y=raiz3 x e y=raiz33 x. Essas retas passam pelo primeiro quadrante e formam ângulos específicos com o eixo x. A inclinação raiz3 corresponde a um ângulo de 60 graus, e raiz33 corresponde a 30 graus.

Passo 4

Para encontrar a área desejada, vamos calcular a área do setor formado entre as duas circunferências e entre as duas retas. Primeiro, precisamos encontrar o ângulo central que abrange esse setor. Como as retas formam ângulos de 30 e 60 graus, a diferença entre eles é de 30 graus, ou pi6 radianos.

Passo 5

A área de um setor circular é dada pela fórmula:
Área do setor = 12 r^2 theta Á
onde r é o raio e theta é o ângulo central em radianos.

Passo 6

Vamos calcular a área do setor maior (raio 2) e subtrair a área do setor menor (raio 1) para obter a área do anel entre as duas circunferências:
Área do setor maior = 12 times 2^2 times pi6 = 12 times 4 times pi6 = 2pi6 = pi3 Á
Área do setor menor = 12 times 1^2 times pi6 = 12 times 1 times pi6 = pi12 Á

Passo 7

Agora, subtraímos a área do setor menor da área do setor maior para encontrar a área do anel entre as duas circunferências:
Área do anel = pi3 - pi12 = 4pi12 - pi12 = 3pi12 = pi4 Á

Resposta

A área da região é dfracpi4.

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