Determine a área da região do primeiro quadrante do plano
delimitado pelas curvas
,
e
. Resp.:
.
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar a área na região do primeiro quadrante do plano
que está limitada por duas circunferências,
e
, e por duas retas,
e
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como áreas de setores circulares e interseção com retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas circunferências. A equação
representa um círculo com raio 1 e centro na origem (0,0). Já a equação
representa um círculo com raio 2, também centrado na origem. Essas duas circunferências vão criar uma espécie de “anel” no plano.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as duas retas:
e
. Essas retas passam pelo primeiro quadrante e formam ângulos específicos com o eixo x. A inclinação
corresponde a um ângulo de 60 graus, e
corresponde a 30 graus.
Passo 4
Para encontrar a área desejada, vamos calcular a área do setor formado entre as duas circunferências e entre as duas retas. Primeiro, precisamos encontrar o ângulo central que abrange esse setor. Como as retas formam ângulos de 30 e 60 graus, a diferença entre eles é de 30 graus, ou
radianos.
Passo 5
A área de um setor circular é dada pela fórmula:
onde
é o raio e
é o ângulo central em radianos.
Passo 6
Vamos calcular a área do setor maior (raio 2) e subtrair a área do setor menor (raio 1) para obter a área do anel entre as duas circunferências:
Passo 7
Agora, subtraímos a área do setor menor da área do setor maior para encontrar a área do anel entre as duas circunferências:
Resposta
A área da região é
.