Usando séries, calcule as seguinte integrais definidas:
F(x)=integral0^x sen(t^2) d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função
F(x)=integral0^xsin(t^2),dt
usando séries de potências. O conteúdo aqui é desenvolver sin u em série de Taylor, substituir u=t^2 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembramos da expansão em série de Taylor da função seno ao redor de zero:
sin u=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!
Essa série converge para todo u.

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=t^2 na série de sin u. Assim,
sin(t^2)=sumn=0^infty(-1)^n(t^2)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^nt^4n+2(2n+1)!

Passo 4

Com a série de sin(t^2) em mãos, integramos termo a termo de 0 a x:
F(x)=integral0^xsin(t^2),dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^nt^4n+2(2n+1)!,dt =sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!integral0^xt^4n+2dt
E
integral0^xt^4n+2dt=x^4n+34n+3

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos a série para F(x):
F(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(4n+3)(2n+1)!
Essa expressão dá a representação em série de potências da integral de sin(t^2).

Resposta

F(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(4n+3)(2n+1)!

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