Usando séries, calcule as seguinte integrais definidas:
F(x)=integral0^x 1-cos tt^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular F(x)=integral0^x1-cos tt^2,dt usando desenvolvimento em série. Vamos usar a expansão em séries de cos t e integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Taylor de cos t em torno de t=0 é
cos t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n)!
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1-cos t=sumn=1^infty(-1)^n+1t^2n(2n)!

Passo 3

Dividindo por t^2 temos o integrando em série:
1-cos tt^2=sumn=1^infty(-1)^n+1t^2n-2(2n)!

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 até x: para cada n,
integral0^xt^2n-2,dt=x^2n-12n-1
Assim
F(x)=sumn=1^infty(-1)^n+11(2n)!cdotx^2n-12n-1

Passo 5

Esse é o resultado em série de potências para F(x).

Resposta

F(x)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n-1(2n)!(2n-1)

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