Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n 2^nn^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série sumn=1^infty (-1)^n 2^nn^3 é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente vai considerar a série sem o termo alternado, ou seja, sumn=1^infty | (-1)^n 2^nn^3 | = sumn=1^infty 2^nn^3.

Passo 3

Para saber se essa série sem o alternado converge, vamos usar o Teste da Razão. Nesse teste, a gente calcula o limite limn to infty | an+1an |, onde an = 2^nn^3.
limn to infty | 2^n+1/(n+1)^32^n/n^3 | = limn to infty 2 ( nn+1 )^3 = 2 times 1 = 2

Passo 4

No Teste da Razão, se o limite for maior que 1, a série diverge. Aqui, o limite é 2, que é maior que 1. Então, a série sumn=1^infty 2^nn^3 diverge.

Passo 5

Como a série sem o alternado diverge, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que, se os termos bn = 2^nn^3 são decrescentes e tendem a zero, a série alternada sumn=1^infty (-1)^n bn converge.

Passo 6

Vamos verificar se bn = 2^nn^3 tende a zero quando n vai para o infinito:
limn to infty 2^nn^3 = infty
Isso significa que bn não tende a zero. Portanto, o Teste da Série Alternada não é satisfeito.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n 2^nn^3 é divergente.

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