Considere a integral iterada dada em coordenadas cilíndricas:
I=integral0^pi integral0^2 integral0^raiz4-r^2 r^2 sen theta d z d r d theta
Expresse I em coordenadas esféricas segundo a ordem de integração d theta d varphi d rho.

Passo 1

A integral original está em coordenadas cilíndricas e é dada por:
I=integral0^piintegral0^2integral0^raiz4-r^2r^2sintheta,dz,dr,dtheta
O conteúdo é mudança de variáveis cilíndricas para esféricas, usando as relações e o jacobiano adequado.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, as variáveis se relacionam assim:
r=rhosinvarphi, z=rhocosvarphi, theta=theta,
e o elemento de volume é
dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Substituindo no integrando original (“densidade” r^2sintheta) obtemos:
r^2sintheta,dV=(rhosinvarphi)^2sinthetacdot(rho^2sinvarphi),drho,dvarphi,dtheta=rho^4sin^3varphi,sintheta,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

A região de integração em cilíndricas satisfaz:
  • theta de 0 a pi,
  • r de 0 até a esfera r^2+z^2=4,
  • z de 0 até raiz4-r^2.
Em esféricas isso vira:
  • theta continua de 0 a pi (porque cobre a metade do plano xy),
  • Ângulo polar varphi (de z) vai de 0 até pi/2 (pois z>=0),
  • Raio rho vai de 0 até 2 (raio da esfera).

Passo 4

Juntando tudo e atendendo à ordem de integração dtheta,dvarphi,drho, ficamos com:
I=integralrho=0^2integralvarphi=0^pi/2integraltheta=0^pi rho^4sin^3varphi,sintheta,dtheta,dvarphi,drho

Resposta

I=integral0^2integral0^pi/2integral0^pi rho^4sin^3varphi,sintheta,dtheta,dvarphi,drho

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