Considere a integral iterada dada em coordenadas cilíndricas:
Expresse
em coordenadas esféricas segundo a ordem de integração
.
Passo 1
A integral original está em coordenadas cilíndricas e é dada por:
O conteúdo é mudança de variáveis cilíndricas para esféricas, usando as relações e o jacobiano adequado.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, as variáveis se relacionam assim:
e o elemento de volume é
Substituindo no integrando original (“densidade”
) obtemos:
Passo 3
A região de integração em cilíndricas satisfaz:
-
de 0 a , -
de 0 até a esfera , -
de 0 até .
Em esféricas isso vira:
-
continua de 0 a (porque cobre a metade do plano xy), - Ângulo polar
(de z) vai de 0 até (pois ), - Raio
vai de 0 até 2 (raio da esfera).
Passo 4
Juntando tudo e atendendo à ordem de integração
, ficamos com: