Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O nosso desafio é resolver um problema de valor inicial, que é um tipo de equação diferencial. A equação que temos é:
E a condição inicial é:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem encontrar um fator integrante que nos ajuda a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares, que é:
Dividindo toda a nossa equação original por $ t $ para isolar $ y^{\prime}(t) $:
Aqui, identificamos que:
- $ P(t) = \frac{2}{t} $
- $ Q(t) = \frac{\sin(t)}{t} $
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Calculando a integral de $ P(t) $:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante $ t^{2} $:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y(t) $. Então podemos reescrever a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ t^{2} \cdot y(t) $. Vamos calcular a integral do lado direito usando a técnica de integração por partes, onde:
- $ u = t $ ⇒ $ du = dt $
- $ dv = \sin(t) , dt $ ⇒ $ v = -\cos(t) $
Aplicando a integração por partes:
Então, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ y(t) $:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
Calculando os valores trigonométricos:
Então:
Multiplicando ambos os lados por $ \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} $:
Passo 9
Substituímos $ C = -1 $ na expressão de $ y(t) $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: