Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O nosso desafio é resolver um problema de valor inicial, que é um tipo de equação diferencial. A equação que temos é:
t cdot y^prime(t) + 2 cdot y(t) = sin(t)
E a condição inicial é:
y(pi2) = 0
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem encontrar um fator integrante que nos ajuda a simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares, que é:
y^prime(t) + P(t) cdot y(t) = Q(t)
Dividindo toda a nossa equação original por $ t $ para isolar $ y^{\prime}(t) $:
t
Aqui, identificamos que:
  • $ P(t) = \frac{2}{t} $
  • $ Q(t) = \frac{\sin(t)}{t} $

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Calculando a integral de $ P(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Então,
P(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante $ t^{2} $:
t^2
Simplificando:
t^2 cdot y^prime(t) + 2t cdot y(t) = t^2 cdot sin(t)t

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y(t) $. Então podemos reescrever a equação como:
mu(t) cdot y(t)
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
ddt ( t^2 cdot y(t) ) = t cdot sin(t)

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simplesmente $ t^{2} \cdot y(t) $. Vamos calcular a integral do lado direito usando a técnica de integração por partes, onde:
  • $ u = t $ ⇒ $ du = dt $
  • $ dv = \sin(t) , dt $ ⇒ $ v = -\cos(t) $
Aplicando a integração por partes:
t^2 cdot y(t)
Então, temos:
u = t

Passo 7

Agora, resolvemos para $ y(t) $:
y(t)
y(t) = -t cdot cos(t) + sin(t) + Ct^2

Passo 8

Aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
y(pi2) = 0
Calculando os valores trigonométricos:
C
0 = -cos(pi2)pi2 + sin(pi2)(pi2)^2 + C(pi2)^2
Então:
cos(pi2) = 0
sin(pi2) = 1
Multiplicando ambos os lados por $ \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} $:
0 = 0 + 1(pi2)^2 + C(pi2)^2
0 = 1 + C(pi2)^2

Passo 9

Substituímos $ C = -1 $ na expressão de $ y(t) $:
C = -1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = -cos(t)t + sin(t)t^2 - 1t^2

Exercícios relacionados