Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial linear:
com a condição inicial $ y(2\pi) = \pi $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui, identificamos $ P(t) = -\tan(t) $ e $ Q(t) = \sec(t) $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Desconsideramos a constante de integração, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso acontece porque o lado esquerdo se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(2\pi) = \pi $ para encontrar
:
Sabemos que
, então
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: