Resolva o problema de valor inicial.
cos (t) y^prime(t)-sen(t) y(t)=1, y(2 pi)=pi

Passo 1

Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial linear:
cos(t) cdot y'(t) - sin(t) cdot y(t) = 1
com a condição inicial $ y(2\pi) = \pi $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear:
y'(t) + P(t) cdot y(t) = Q(t)
Dividindo ambos os lados da equação original por cos(t), temos:
y'(t) - tan(t) cdot y(t) = sec(t)
Aqui, identificamos $ P(t) = -\tan(t) $ e $ Q(t) = \sec(t) $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -tan(t) dt
Calculando a integral:
integral -tan(t) dt = -ln|sec(t)| + C
Desconsideramos a constante de integração, então:
mu(t) = e^-ln|sec(t)| = cos(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t):
cos(t) cdot y'(t) - cos(t) cdot tan(t) cdot y(t) = cos(t) cdot sec(t)
Simplificando:
ddt [cos(t) cdot y(t)] = 1
Isso acontece porque o lado esquerdo se torna a derivada do produto cos(t) cdot y(t).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
cos(t) cdot y(t) = integral 1 , dt + C = t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y(t):
y(t) = t + Ccos(t) = (t + C) cdot sec(t)

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(2\pi) = \pi $ para encontrar y(2pi) = pi :
C
Sabemos que pi = (2pi + C) cdot sec(2pi) , então cos(2pi) = 1:
sec(2pi) = 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = (t - pi) cdot sec(t)

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