A integral integralegral triplaW f(x, y, z) d V, onde W é sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2 x+2 y+z=2 pode ser escrita como:
integral0^1 integral0^1-x integral0^2-2 x-2 y f(x, y, z) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para expressar a integral tripla de uma função f(x,y,z) sobre o sólido W limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2x+2y+z=2. O conteúdo é mudança de ordem de integração e projeção do sólido no plano xy.

Passo 2

Para parametrizar o sólido, primeiro projetamos W no plano xy anulando z. Da condição 2x+2y+z=2 com z=0 obtemos 2x+2y=2, ou seja, x+y=1. Como x e y também são ≥0, a projeção D é o triângulo dado por
D=(x,y):0<= x<=1,;0<= y<=1-x

Passo 3

Feito isso, para cada ponto (x,y) em D, o valor de z varia entre o plano z=0 e o plano z=2-2x-2y. Logo as cotas de z são
0<= z<=2-2x-2y

Passo 4

Reunindo tudo, escrevemos a integral tripla como iterada, integrando primeiro em z, depois em y e por fim em x:

Resposta

integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^2-2x-2yf(x,y,z),dz,dy,dx

Exercícios relacionados