Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular ao plano dado.
(a) (0,1,-1) e x+2 y-z=3;
(b) (2,1,-1) e 2 x+y+3 z=1.

Passo 1

Neste exercício precisamos determinar a equação vetorial da reta que passa por um ponto dado e é perpendicular a um plano fornecido. O conteúdo principal é a equação vetorial de reta e a relação de perpendicularidade entre reta e plano.

Passo 2

Teoria: para um plano Ax + By + Cz = D, o vetor normal ao plano é vec n = (A,B,C). A equação vetorial de uma reta que passa por vec r0 e tem direção vec v é vec r = vec r0 + t,vec v. Como queremos a reta perpendicular ao plano, escolhemos vec v = vec n.

Passo 3

Para o item (a), o plano dado é x + 2y - z = 3, então vec n = (1,2,-1). O ponto dado é (0,1,-1). Logo a equação vetorial da reta é vec r = (0,1,-1) + t,(1,2,-1).

Passo 4

Para o item (b), o plano dado é 2x + y + 3z = 1, então vec n = (2,1,3). O ponto dado é (2,1,-1). Logo a equação vetorial da reta é vec r = (2,1,-1) + t,(2,1,3).

Resposta

(a) vec r = (0,1,-1) + t(1,2,-1); (b) vec r = (2,1,-1) + t(2,1,3).

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