Considere a integral integral raiz2 x^2-12 x+20 d x. Qual das mudanças abaixo elimina a raiz do integrando?
2 x=tg t x-3=tg t x-3=2 sec t x=32 tg t x=3 sen t
Quero 0.5 ponto

Passo 1

O enunciado pede para escolher uma mudança de variável que elimine a raiz em integral raiz2x^2 - 12x + 20,dx. O conteúdo é integração de raízes quadráticas usando substituição trigonométrica, e vamos precisar completar o quadrado para identificar o padrão.

Passo 2

Primeiro, fatoramos e completamos o quadrado dentro da raiz:
2x^2 - 12x + 20 = 2l(x^2 - 6x + 10r) = 2l((x-3)^2 + 1r)
Portanto a integral vira integral raiz2,raiz(x-3)^2 + 1,dx.

Passo 3

Para eliminar a raiz raiz(x-3)^2 + 1, usamos a substituição trigonométrica que transforma (x-3)^2 + 1 em 1 + tan^2 t = sec^2 t. Logo, fazemos
x - 3 = tan t
Com isso, raiz(x-3)^2 + 1 = raizsec^2 t = sec t, eliminando a raiz.

Resposta

x - 3 = \tan t

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