Seja
uma sequência definida indutivamente por:
Mostre que
é convergente e calcule seu limite. (Sugestão: prove por indução que
).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência
que começa com
e é definida de forma que cada termo seguinte é dado por
para todo número natural
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela chega a um valor fixo à medida que
aumenta, e descobrir qual é esse valor. Para isso, vamos usar conceitos de sequência monótona (que sempre aumenta ou sempre diminui) e sequências limitadas (que não crescem além de certo valor).
Passo 2
Vamos começar calculando os primeiros termos da sequência para ver como ela se comporta:
Observamos que a sequência está aumentando: cada termo é maior que o anterior. Também percebemos que os termos estão se aproximando de um valor próximo a 2, mas ainda não temos certeza se vão parar exatamente em 2 ou em algum outro número.
Passo 3
Vamos provar que a sequência é crescente, ou seja, que
para todo
. Para isso, usamos indução matemática, um método onde provamos que se a propriedade é verdadeira para um caso inicial, ela também é verdadeira para o próximo caso, e assim por diante.
Base da Indução: Para
,
Como
, a base está provada.
Passo Indutivo: Suponha que para algum
,
. Queremos mostrar que
.
Sabemos que:
Como
, multiplicando ambos os lados por 2:
Adicionando 3:
Dividindo por 4:
Portanto, por indução, a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a sequência está limitada acima por 2, ou seja, que
para todo
. Também usamos indução para isso.
Base da Indução: Para
,
Base provada.
Passo Indutivo: Suponha que
. Queremos mostrar que
.
Sabemos que:
Como
,
Dividindo por 4:
Portanto, por indução,
para todo
.
Passo 5
Com os passos anteriores, mostramos que a sequência é crescente e está limitada acima por 2. Segundo o Teorema da Convergência Monótona, toda sequência que é monótona e limitada converge para um limite. Portanto, a sequência
é convergente.
Passo 6
Para encontrar o limite da sequência, vamos chamar esse limite de
. Como a sequência converge para
, também temos:
Como
, substituímos:
Agora, resolvemos a equação para
:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.