Seja (xn) uma sequência definida indutivamente por:
x1=1 e xn+1=2 xn+34 forall n in N
Mostre que (xn) é convergente e calcule seu limite. (Sugestão: prove por indução que xn ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência (xn) que começa com x1 = 1 e é definida de forma que cada termo seguinte é dado por xn+1 = 2xn + 34 para todo número natural n. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela chega a um valor fixo à medida que n aumenta, e descobrir qual é esse valor. Para isso, vamos usar conceitos de sequência monótona (que sempre aumenta ou sempre diminui) e sequências limitadas (que não crescem além de certo valor).

Passo 2

Vamos começar calculando os primeiros termos da sequência para ver como ela se comporta:
x1 &= 1 x2 &= 2 cdot 1 + 34 = 54 = 1,25 x3 &= 2 cdot 1,25 + 34 = 2,5 + 34 = 5,54 = 1,375 x4 &= 2 cdot 1,375 + 34 = 2,75 + 34 = 5,754 = 1,4375
Observamos que a sequência está aumentando: cada termo é maior que o anterior. Também percebemos que os termos estão se aproximando de um valor próximo a 2, mas ainda não temos certeza se vão parar exatamente em 2 ou em algum outro número.

Passo 3

Vamos provar que a sequência é crescente, ou seja, que xn+1 > xn para todo n. Para isso, usamos indução matemática, um método onde provamos que se a propriedade é verdadeira para um caso inicial, ela também é verdadeira para o próximo caso, e assim por diante.
Base da Indução: Para n = 1,
x1 = 1 e x2 = 1,25
Como 1,25 > 1, a base está provada.
Passo Indutivo: Suponha que para algum k in N, xk < xk+1. Queremos mostrar que xk+1 < xk+2.
Sabemos que:
xk+2 = 2xk+1 + 34
Como xk < xk+1, multiplicando ambos os lados por 2:
2xk < 2xk+1
Adicionando 3:
2xk + 3 < 2xk+1 + 3
Dividindo por 4:
2xk + 34 < 2xk+1 + 34 Rightarrow xk+1 < xk+2
Portanto, por indução, a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a sequência está limitada acima por 2, ou seja, que xn < 2 para todo n. Também usamos indução para isso.
Base da Indução: Para n = 1,
x1 = 1 < 2
Base provada.
Passo Indutivo: Suponha que xk < 2. Queremos mostrar que xk+1 < 2.
Sabemos que:
xk+1 = 2xk + 34
Como xk < 2,
2xk + 3 < 2 cdot 2 + 3 = 7
Dividindo por 4:
xk+1 = 2xk + 34 < 74 = 1,75 < 2
Portanto, por indução, xn < 2 para todo n.

Passo 5

Com os passos anteriores, mostramos que a sequência é crescente e está limitada acima por 2. Segundo o Teorema da Convergência Monótona, toda sequência que é monótona e limitada converge para um limite. Portanto, a sequência (xn) é convergente.

Passo 6

Para encontrar o limite da sequência, vamos chamar esse limite de L. Como a sequência converge para L, também temos:
L = limn to infty xn+1 = limn to infty 2xn + 34
Como limn to infty xn = L, substituímos:
L = 2L + 34
Agora, resolvemos a equação para L:
4L = 2L + 3 4L - 2L = 3 2L = 3 L = 32 = 1,5

Resposta

A sequência (xn) é convergente e seu limite é 1,5.

Exercícios relacionados