Resolva pelo método de variação de parâmetros a EDO dada abaixo (ou seja, dê a solução geral da EDO), utilizando-se da fórmula abaixo para encontrar uma solução particular de uma equação nãohomogênea do tipo y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=g(x) (note que o g(x) é escolhido quando o termo que acompanha o y^prime prime é igual a 1):
yp(x)=-y1(x) integral y2(x) g(x)W(y1(x), y2(x)) d x+y2(x) integral y1(x) g(x)W(y1(x), y2(x)) d x
Dê a solução geral da EDO y^prime prime-18 y^prime+81 y=x cdot e^9 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO por variação de parâmetros, aplicando-se à equação não homogênea de segundo ordem com coeficientes constantes. Vamos usar p(x)=−18, q(x)=81 e g(x)=x
e^{9x}.

Passo 2

Começamos resolvendo a homogênea associada y’‘−18y’+81y=0. A equação característica é r^2−18r+81=0, que tem raiz dupla r=9. Logo as soluções lineares independentes são y₁(x)=e^{9x} e y₂(x)=x
e^{9x}. A solução homogênea é yₕ(x)=(C₁+C₂x)e^{9x}.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano W(y₁,y₂)=y₁
e y₂’−y₁’
e y₂. Temos y₂’=e^{9x}+9x
e e^{9x} e y₁’=9e^{9x}, então
W=e^9x(e^9x+9x e e^9x)−9e^9x(x e e^9x)=e^18x+9x e e^18x−9x e e^18x=e^18x

Passo 4

Na fórmula de variação de parâmetros a solução particular é
yp=-y₁(x)integraly₂(x)g(x)W(x)dx+y₂(x)integraly₁(x)g(x)W(x)dx

Passo 5

Calculamos os dois integrais:
Para I₁=\int\frac{y₂
eg
g}{W}dx=\int\frac{x
e e^{9x}·x
e e{9x}}{e{18x}}dx=\int x2dx=\tfrac{x3}{3},
Para I₂=\int\frac{y₁
eg
g}{W}dx=\int\frac{e^{9x}·x
e e{9x}}{e{18x}}dx=\int xdx=\tfrac{x^2}{2}.

Passo 6

Logo
$$y_p=-e{9x}·\tfrac{x3}{3}+x
e e{9x}·\tfrac{x2}{2}=\Big(-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}\Big)x3e{9x}=\tfrac{x3}{6}e{9x}.$$

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma y(x)=yₕ(x)+y_p(x).

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{x{3}}{6}\bigr)e{9x}

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