Resolva pelo método de variação de parâmetros a EDO dada abaixo (ou seja, dê a solução geral da EDO), utilizando-se da fórmula abaixo para encontrar uma solução particular de uma equação nãohomogênea do tipo
(note que o
é escolhido quando o termo que acompanha o
é igual a 1):
Dê a solução geral da EDO
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO por variação de parâmetros, aplicando-se à equação não homogênea de segundo ordem com coeficientes constantes. Vamos usar p(x)=−18, q(x)=81 e g(x)=x
e^{9x}.
e^{9x}.
Passo 2
Começamos resolvendo a homogênea associada y’‘−18y’+81y=0. A equação característica é r^2−18r+81=0, que tem raiz dupla r=9. Logo as soluções lineares independentes são y₁(x)=e^{9x} e y₂(x)=x
e^{9x}. A solução homogênea é yₕ(x)=(C₁+C₂x)e^{9x}.
e^{9x}. A solução homogênea é yₕ(x)=(C₁+C₂x)e^{9x}.
Passo 3
Calculamos o Wronskiano W(y₁,y₂)=y₁
e y₂’−y₁’
e y₂. Temos y₂’=e^{9x}+9x
e e^{9x} e y₁’=9e^{9x}, então
e y₂’−y₁’
e y₂. Temos y₂’=e^{9x}+9x
e e^{9x} e y₁’=9e^{9x}, então
Passo 4
Na fórmula de variação de parâmetros a solução particular é
Passo 5
Calculamos os dois integrais:
Para I₁=\int\frac{y₂
eg
g}{W}dx=\int\frac{x
e e^{9x}·x
e e{9x}}{e{18x}}dx=\int x2dx=\tfrac{x3}{3},
Para I₂=\int\frac{y₁
eg
g}{W}dx=\int\frac{e^{9x}·x
e e{9x}}{e{18x}}dx=\int xdx=\tfrac{x^2}{2}.
Para I₁=\int\frac{y₂
eg
g}{W}dx=\int\frac{x
e e^{9x}·x
e e{9x}}{e{18x}}dx=\int x2dx=\tfrac{x3}{3},
Para I₂=\int\frac{y₁
eg
g}{W}dx=\int\frac{e^{9x}·x
e e{9x}}{e{18x}}dx=\int xdx=\tfrac{x^2}{2}.
Passo 6
Logo
$$y_p=-e{9x}·\tfrac{x3}{3}+x
e e{9x}·\tfrac{x2}{2}=\Big(-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}\Big)x3e{9x}=\tfrac{x3}{6}e{9x}.$$
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma y(x)=yₕ(x)+y_p(x).
Resposta
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{x{3}}{6}\bigr)e{9x}