O valor da integral integral0^pi2 sen^13 x cos ^3 x d x é:

Passo 1

A gente tem a integral de 0 a π/2 de sen13(x)·cos3(x) dx. Isso é cálculo de integrais definidas envolvendo potências de funções trigonométricas. Vamos precisar usar a identidade cos2(x)=1−sin2(x) e a substituição u=sen(x).

Passo 2

Para facilitar, escrevemos cos^3(x) como cos^2(x)·cos(x) e usamos a identidade trigonométrica:
cos^3(x)=l(cos^2(x)r),cos(x)=l(1-sin^2(x)r),cos(x)
Assim a integral fica
integral0^pi2sin^13(x)cos^3(x),dx=integral0^pi2sin^13(x)l(1-sin^2(x)r)cos(x),dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=sin(x), logo du=cos(x)dx. Quando x=0, u=0; quando x=π/2, u=1. A integral passa a ser
integral0^1u^13(1-u^2),du=integral0^1l(u^13-u^15r),du

Passo 4

Integramos em u de uma vez só:
integral0^1l(u^13-u^15r),du=[u^1414-u^1616]0^1
Por fim, avaliando nos limites 0 e 1:
114-116=8-7112=1112

Resposta

1/112

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