Considere a interpolação de Newton e os valores funcionais seguintes.
a) Aproxime f(0,32) por interpolação linear e estime o erro.
b) Aproxime f(0,70) por interpolação quadrática e estime o erro.
c) Sabendo que f(x)=x^{3}+2 x+\operatorname{sen} x, delimite o erro cometido em (b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Aproximar f(0,32) por interpolação linear e estimar o erro.
  2. (b) Aproximar f(0,70) por interpolação quadrática e estimar o erro.
  3. (c) Sabendo que f(x)=x^{3}+2x+\operatorname{sen} x, delimitar o erro cometido em (b).
Informações fornecidas no enunciado: o enunciado menciona “os valores funcionais seguintes”, mas esses valores numéricos (os pares (x_i,f(x_i)) que seriam usados para construir os polinômios de Newton) não foram incluídos na sua mensagem. Observação importante: sem os valores funcionais e os nós \,x_0,x_1,\dots não é possível calcular as aproximações numéricas de (a) e (b). A parte (c) fornece f(x), portanto podemos dar uma expressão explícita e um limite para o erro da interpolação quadrática em termos dos nós usados em (b).

Passo 2

Conceito e fórmula da interpolação de Newton linear (passo-a-passo didático).
  1. Escolha de nós: para interpolação linear escolhemos dois nós distintos \,x_0 e \,x_1 e seus valores \,f(x_0) e \,f(x_1). Em prova, escolha normalmente os dois nós mais próximos do ponto a aproximar.
  2. Dividida de primeira ordem: defina a dividida
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.
Explicação: é a “inclinação” média entre os dois pontos, generalizando a ideia de coeficiente angular de uma reta.
3. Polinômio de Newton linear: o polinômio que interpola é
P_1(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1]\,(x-x_0).
Para aproximar f(0,32) avalie P_1(0,32). Isto dá a aproximação numérica assim que você souber x_0,x_1,f(x_0),f(x_1).
4. Erro da interpolação linear (fórmula do resto): existe \xi entre os nós tal que
R_1(x)=f(x)-P_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}\,(x-x_0)(x-x_1).
Para estimar o módulo do erro em x=0,32 use
|R_1(0,32)|\le \frac{M_2}{2}\,| (0,32-x_0)(0,32-x_1) |
onde
M_2=\max_{t\in I}|f''(t)|
e I é um intervalo que contém os nós x_0,x_1 e o ponto 0,32. Observação prática: para obter o número final basta substituir x_0,x_1 e calcular M_2 (se f conhecida) ou estimá-lo.

Passo 3

Conceito e fórmula da interpolação de Newton quadrática (passo-a-passo didático).
  1. Escolha de nós: para interpolação quadrática escolha três nós distintos \,x_0,x_1,x_2 com seus valores f(x_0),f(x_1),f(x_2). Em prova, escolha os três nós mais próximos de 0,70 (por exemplo, dois à esquerda e um à direita ou vice-versa).
  2. Divididas necessárias:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}, \quad f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Explicação: f[x_0,x_1,x_2] representa a “segunda derivada média” e é o coeficiente do termo quadrático em Newton.
3. Polinômio de Newton quadrático:
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1]\,(x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1).
Para aproximar f(0,70) basta calcular P_2(0,70) usando os valores acima.
4. Erro da interpolação quadrática (fórmula do resto): existe \xi no intervalo contendo os nós tal que
R_2(x)=f(x)-P_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Portanto o erro em x=0,70 satisfaz
|R_2(0,70)|\le \frac{M_3}{6}\,| (0,70-x_0)(0,70-x_1)(0,70-x_2) |
onde
M_3=\max_{t\in J}|f^{(3)}(t)|
e J é um intervalo que contém \{x_0,x_1,x_2,0,70\}.

Passo 4

Aplicando (c): cálculo das derivadas e limite explícito do erro para f(x)=x^{3}+2x+\operatorname{sen} x.
  1. Calcule as derivadas até a terceira ordem:
f'(x)=3x^{2}+2+\cos x,
f''(x)=6x-\operatorname{sen} x,
f^{(3)}(x)=6-\cos x.
  1. Estime M_3. Como \cos x\in[-1,1] para todo x, temos
f^{(3)}(x)=6-\cos x\in[5,7],
logo
M_3=\max_{t}|f^{(3)}(t)|=7.
  1. Portanto, independentemente dos nós escolhidos (contanto que o intervalo J contenha os pontos relevantes), o erro da interpolação quadrática em x=0,70 satisfaz a desigualdade explícita
|R_2(0,70)|\le \frac{7}{6}\,|(0,70-x_0)(0,70-x_1)(0,70-x_2)|.
Isto é um limite numérico claro: para obter um valor numérico final substitua os valores numéricos de x_0,x_1,x_2 e calcule o produto.

Passo 5

Como proceder na prova (guia prático e rápido):
  1. Para (a) escolha os dois nós x_0,x_1 mais próximos de 0,32, calcule f[x_0,x_1] conforme a fórmula do Passo 2, escreva P_1(x) e avalie P_1(0,32). Estime o erro com M_2 convenientemente (se f conhecida use f'', senão obtenha uma cota).
  2. Para (b) escolha três nós próximos de 0,70, calcule as divididas do Passo 3, escreva P_2 e avalie P_2(0,70). Estime o erro com M_3 usando a fórmula do Passo 3.
  3. Para (c), já que f é dada, use f^{(3)}(x)=6-\cos x e a cota M_3=7 para obter a desigualdade do Passo 4. Dica prática: se os nós estiverem a uma distância típica \le h de 0,70, então |(0,70-x_0)(0,70-x_1)(0,70-x_2)| costuma ser da ordem de h^{3}, o que dá uma ideia rápida do tamanho do erro.

Resposta

(a) Não é possível fornecer a aproximação numérica de f(0,32) sem os valores funcionais \{(x_i,f(x_i))\}. O polinômio linear de Newton é
P_1(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)
e o erro satisfaz
|R_1(0,32)|\le \frac{M_2}{2}\,| (0,32-x_0)(0,32-x_1) |
com M_2=\max_{t\in I}|f''(t)|.
(b) Não é possível fornecer a aproximação numérica de f(0,70) sem os valores funcionais \{(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))\}. O polinômio quadrático de Newton é
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)
e o erro satisfaz
|R_2(0,70)|\le \frac{M_3}{6}\,| (0,70-x_0)(0,70-x_1)(0,70-x_2) |
com M_3=\max_{t\in J}|f^{(3)}(t)|.
(c) Para f(x)=x^{3}+2x+\operatorname{sen} x temos f^{(3)}(x)=6-\cos x, portanto 5\le f^{(3)}(x)\le 7 e podemos tomar M_3=7. Logo o erro em (b) satisfaz a cota explícita
|R_2(0,70)|\le \frac{7}{6}\,|(0,70-x_0)(0,70-x_1)(0,70-x_2)|.

Exercícios relacionados