Considere a interpolação de Newton e os valores funcionais seguintes.
a) Aproxime
por interpolação linear e estime o erro.
b) Aproxime
por interpolação quadrática e estime o erro.
c) Sabendo que
, delimite o erro cometido em (b).
a) Aproxime
b) Aproxime
c) Sabendo que
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Aproximar
por interpolação linear e estimar o erro. - (b) Aproximar
por interpolação quadrática e estimar o erro. - (c) Sabendo que
, delimitar o erro cometido em (b).
Informações fornecidas no enunciado: o enunciado menciona “os valores funcionais seguintes”, mas esses valores numéricos (os pares
que seriam usados para construir os polinômios de Newton) não foram incluídos na sua mensagem. Observação importante: sem os valores funcionais e os nós
não é possível calcular as aproximações numéricas de (a) e (b). A parte (c) fornece
, portanto podemos dar uma expressão explícita e um limite para o erro da interpolação quadrática em termos dos nós usados em (b).
Passo 2
Conceito e fórmula da interpolação de Newton linear (passo-a-passo didático).
- Escolha de nós: para interpolação linear escolhemos dois nós distintos
e e seus valores e . Em prova, escolha normalmente os dois nós mais próximos do ponto a aproximar. - Dividida de primeira ordem: defina a dividida
Explicação: é a “inclinação” média entre os dois pontos, generalizando a ideia de coeficiente angular de uma reta.
3. Polinômio de Newton linear: o polinômio que interpola é
3. Polinômio de Newton linear: o polinômio que interpola é
Para aproximar
avalie
. Isto dá a aproximação numérica assim que você souber
.
4. Erro da interpolação linear (fórmula do resto): existe entre os nós tal que
4. Erro da interpolação linear (fórmula do resto): existe
Para estimar o módulo do erro em
use
onde
e
é um intervalo que contém os nós
e o ponto
. Observação prática: para obter o número final basta substituir
e calcular
(se
conhecida) ou estimá-lo.
Passo 3
Conceito e fórmula da interpolação de Newton quadrática (passo-a-passo didático).
- Escolha de nós: para interpolação quadrática escolha três nós distintos
com seus valores . Em prova, escolha os três nós mais próximos de (por exemplo, dois à esquerda e um à direita ou vice-versa). - Divididas necessárias:
Explicação:
representa a “segunda derivada média” e é o coeficiente do termo quadrático em Newton.
3. Polinômio de Newton quadrático:
3. Polinômio de Newton quadrático:
Para aproximar
basta calcular
usando os valores acima.
4. Erro da interpolação quadrática (fórmula do resto): existe no intervalo contendo os nós tal que
4. Erro da interpolação quadrática (fórmula do resto): existe
Portanto o erro em
satisfaz
onde
e
é um intervalo que contém
.
Passo 4
Aplicando (c): cálculo das derivadas e limite explícito do erro para
.
- Calcule as derivadas até a terceira ordem:
- Estime
. Como para todo , temos
logo
- Portanto, independentemente dos nós escolhidos (contanto que o intervalo
contenha os pontos relevantes), o erro da interpolação quadrática em satisfaz a desigualdade explícita
Isto é um limite numérico claro: para obter um valor numérico final substitua os valores numéricos de
e calcule o produto.
Passo 5
Como proceder na prova (guia prático e rápido):
- Para (a) escolha os dois nós
mais próximos de , calcule conforme a fórmula do Passo 2, escreva e avalie . Estime o erro com convenientemente (se conhecida use , senão obtenha uma cota). - Para (b) escolha três nós próximos de
, calcule as divididas do Passo 3, escreva e avalie . Estime o erro com usando a fórmula do Passo 3. - Para (c), já que
é dada, use e a cota para obter a desigualdade do Passo 4. Dica prática: se os nós estiverem a uma distância típica de , então costuma ser da ordem de , o que dá uma ideia rápida do tamanho do erro.
Resposta
(a) Não é possível fornecer a aproximação numérica de
sem os valores funcionais
. O polinômio linear de Newton é
e o erro satisfaz
com
.
(b) Não é possível fornecer a aproximação numérica de
sem os valores funcionais
. O polinômio quadrático de Newton é
e o erro satisfaz
com
.
(c) Para
temos
, portanto
e podemos tomar
. Logo o erro em (b) satisfaz a cota explícita