Se
a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas
e
, orientado no sentido positivo. Dê o valor de cada uma das seguintes integrais:
\oint_{\Gamma} \frac{\cos z}{z\left(z^{2}+8\right)} d z
\oint_{\Gamma} \frac{\cos z}{z\left(z^{2}+8\right)} d z
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas
e
, orientado no sentido positivo (isto é, anti-horário).\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral complexa.
Passo 2
Primeiro identifiquemos as singularidades da função
. Elas ocorrem onde o denominador zera:
Resolvendo
obtemos
Portanto as singularidades são
e
.
Passo 3
Agora determinamos quais dessas singularidades estão dentro do quadrado
. O quadrado contém os pontos com parte real entre
e
e parte imaginária entre
e
.\n
As localizações das singularidades:
As localizações das singularidades:
Como
, os pontos
têm parte imaginária fora do intervalo
e, portanto, estão fora do quadrado. O único ponto singular dentro do contorno é
.
Passo 4
Vamos caracterizar a singularidade em
. O fator
no denominador é simples (ordem 1) e o numerador
é uma função inteira (analítica em todo
), logo
é um pólo simples de
.\n
Para pólos simples, a forma prática de obter o resíduo é
Para pólos simples, a forma prática de obter o resíduo é
Aqui
.
Passo 5
Calculemos o resíduo em
usando a fórmula de pólo simples:
Como o denominador
é contínuo em
e
também, basta avaliar em
:
Passo 6
Agora aplicamos o teorema dos resíduos: para um contorno fechado simples e orientado positivamente,
Como o único resíduo interno é
, temos
Passo 7
(Verificação alternativa rápida, didática) Uma outra maneira de ver o resíduo é expandir em série de Laurent em torno de
. Sabemos que
Multiplicando:
Dividindo por
(pois
) obtemos
Assim o coeficiente de
é
, confirmando o resíduo e o resultado da integral.