Se Gamma a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas x= \pm 2 e y= \pm 2, orientado no sentido positivo. Dê o valor de cada uma das seguintes integrais:
\oint_{\Gamma} \frac{\cos z}{z\left(z^{2}+8\right)} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{\Gamma} \frac{\cos z}{z\left(z^{2}+8\right)}\,dz
onde \Gamma é a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas x=\pm 2 e y=\pm 2, orientado no sentido positivo (isto é, anti-horário).\n
Informações relevantes dadas:
\text{domínio do contorno: }\{z=x+iy \mid -2\le x\le 2,\; -2\le y\le 2\}.í
\text{função integranda: }f(z)=\frac{\cos z}{z\left(z^{2}+8\right)}.çã
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral complexa.

Passo 2

Primeiro identifiquemos as singularidades da função f(z). Elas ocorrem onde o denominador zera:
z\left(z^{2}+8\right)=0 \implies z=0 \quad\text{ou}\quad z^{2}=-8.
Resolvendo z^{2}=-8 obtemos
z=\pm\sqrt{-8}=\pm 2\sqrt{2}\,i.
Portanto as singularidades são \;z=0\; e \;z=\pm 2\sqrt{2}\,i.

Passo 3

Agora determinamos quais dessas singularidades estão dentro do quadrado \Gamma. O quadrado contém os pontos com parte real entre -2 e 2 e parte imaginária entre -2 e 2.\n
As localizações das singularidades:
z=0\quad(\text{origem, } \Re z=0,\\ \Im z=0),
z=\pm 2\sqrt{2}\,i\quad(\text{partes imaginárias } \pm 2\sqrt{2}\approx \pm 2{,}828).á
Como 2\sqrt{2}\approx 2{,}828>2, os pontos \pm 2\sqrt{2}\,i têm parte imaginária fora do intervalo [-2,2] e, portanto, estão fora do quadrado. O único ponto singular dentro do contorno é \;z=0.

Passo 4

Vamos caracterizar a singularidade em z=0. O fator z no denominador é simples (ordem 1) e o numerador \cos z é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{C}), logo z=0 é um pólo simples de f.\n
Para pólos simples, a forma prática de obter o resíduo é
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z).
Aqui z_{0}=0.

Passo 5

Calculemos o resíduo em z=0 usando a fórmula de pólo simples:
\operatorname{Res}\bigl(f,0\bigr)=\lim_{z\to 0} z\cdot \frac{\cos z}{z\left(z^{2}+8\right)} =\lim_{z\to 0}\frac{\cos z}{z^{2}+8}.
Como o denominador z^{2}+8 é contínuo em 0 e \cos z também, basta avaliar em z=0:
\operatorname{Res}\bigl(f,0\bigr)=\frac{\cos 0}{0^{2}+8}=\frac{1}{8}.

Passo 6

Agora aplicamos o teorema dos resíduos: para um contorno fechado simples e orientado positivamente,
\oint_{\Gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum (\text{resíduos de }f\text{ dentro de }\Gamma).í
Como o único resíduo interno é \operatorname{Res}(f,0)=\tfrac{1}{8}, temos
\oint_{\Gamma} \frac{\cos z}{z\left(z^{2}+8\right)}\,dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi i}{4}.

Passo 7

(Verificação alternativa rápida, didática) Uma outra maneira de ver o resíduo é expandir em série de Laurent em torno de 0. Sabemos que
\cos z = 1 - \frac{z^{2}}{2} + \cdots \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{z^{2}+8}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1+\frac{z^{2}}{8}}=\frac{1}{8}\left(1-\frac{z^{2}}{8}+\cdots\right).
Multiplicando:
\frac{\cos z}{z^{2}+8}=\frac{1}{8}+\text{(termos em }z^{2},z^{4},\dots).
Dividindo por z (pois f(z)=\frac{\cos z}{z(z^{2}+8)}) obtemos
f(z)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{z}+\text{(termos analíticos em }z\text{)}.í
Assim o coeficiente de 1/z é 1/8, confirmando o resíduo e o resultado da integral.

Resposta

\dfrac{\pi i}{4}

Exercícios relacionados