a) Verifique o critério das linhas à matriz dos coeficientes do sistema.
b) Encontre a fórmula de recorrência x^{(k+1)}=F x^{(k)}+d. Determine a matriz F e o vetor d.
c) Encontre a solução do sistema, por meio do método de Gauss-Jacobi, com x^{(0)}= \left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e \varepsilon=10^{-2}.
(a) Verificar o critério das linhas para a matriz dos coeficientes (ou seja, verificar se cada elemento diagonal tem módulo maior que a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha).
(b) Encontrar a fórmula de iteração do método de Gauss–Jacobi x^{(k+1)}=F x^{(k)}+d, isto é, determinar a matriz F e o vetor d.
(c) Tentar obter a solução do sistema pelo método de Gauss–Jacobi, com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\end{pmatrix}^{T} e \varepsilon=10^{-2}.
Dados relevantes extraídos do enunciado (matriz dos coeficientes A e vetor termo independente b):
O que é o “critério das linhas”? É a condição de diagonal dominante por linhas: uma matriz A=(a_{ij}) satisfaz o critério das linhas estrito se, para cada i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto é um critério suficiente (mas não necessário) para garantir convergência do método de Gauss–Jacobi. Vou calcular, linha a linha, o lado esquerdo e o lado direito da desigualdade.
Linha 1: |a_{11}|=|2|=2. Soma dos outros módulos: |-8|+|1|+|-1|=8+1+1=10. Logo 2\not>10.
Linha 2: |a_{22}|=|1|=1. Soma dos outros: |4|+|1|+|1|=4+1+1=6. Logo 1\not>6.
Linha 3: |a_{33}|=|1|=1. Soma dos outros: |1|+|1|+|{-4}|=1+1+4=6. Logo 1\not>6.
Linha 4: |a_{44}|=|1|=1. Soma dos outros: |1|+|2|+|{-5}|=1+2+5=8. Logo 1\not>8.
Conclusão: nenhuma linha satisfaz a desigualdade estrita; portanto a matriz A não é diagonalmente dominante por linhas e o critério das linhas não é satisfeito.
Passo 3
Derivando a forma do método de Gauss–Jacobi. Separarmos A=D+R, onde D é a diagonal de A e R=A-D contém os restantes. A iteração de Jacobi é
Resumo (já calculado): x^{(k+1)}=F x^{(k)}+d com F e d acima.]
Passo 4
Critério de convergência prático para Jacobi: se existir uma norma matricial consistente \|\cdot\| tal que \|F\|<1, então a iteração converge para a solução para todo x^{(0)}. Um critério simples de verificação é usar a norma \|\cdot\|_{\infty} (norma da linha: máximo da soma dos módulos por linha). Vou calcular \|F\|_{\infty} (soma dos módulos de cada linha, e pegar o máximo):
Linha 1: |0|+|4|+|\tfrac{1}{2}|+|\tfrac{1}{2}|=4+0{,}5+0{,}5=5.
Linha 2: |-4|+0+1+1=6.
Linha 3: 1+1+0+4=6.
Linha 4: 1+2+5+0=8.
Assim \|F\|_{\infty}=8>1. Conclusão: a condição suficiente \|F\|<1 (nesta norma) não é satisfeita, o que indica forte tendência de não convergência. De fato, a ausência de dominância diagonal por linhas (Passo 2) já era um aviso.
Passo 5
Computando as primeiras iterações com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} para ver o comportamento numérico.
Fórmula direta (componentes) do Jacobi é, por exemplo,
Iteração 1→2:
Calculo x^{(2)}=F x^{(1)}+d.
Cálculos linha a linha (detalhando):
Linha 1: 0\cdot(-3)+4\cdot7+(-\tfrac{1}{2})(-1)+\tfrac{1}{2}(-1)=28+0{,}5-0{,}5=28. Somando d_1=-3 dá x^{(2)}_1=25.
Linha 2: -4(-3)+0\cdot7+(-1)(-1)+(-1)(-1)=12+1+1=14. Somando d_2=7 dá x^{(2)}_2=21.
Linha 3: -1(-3)+(-1)7+0(-1)+4(-1)=3-7+0-4=-8. Somando d_3=-1 dá x^{(2)}_3=-9.
Linha 4: -1(-3)+(-2)7+5(-1)+0(-1)=3-14-5=-16. Somando d_4=-1 dá x^{(2)}_4=-17.
Note que a diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\{|25-(-3)|,\;|21-7|,\;|-9-(-1)|,\;|-17-(-1)|\}=\max\{28,14,8,16\}=28, muito maior que \varepsilon=10^{-2}. O salto de x^{(1)} para x^{(2)} é enorme; os valores estão crescendo (em módulo) em vez de se aproximarem. Isto confirma a indicação do Passo 4 de que o método diverge para este problema com a ordem das equações dada.]
Passo 6
Resultado prático: o método de Gauss–Jacobi, com a ordenação dada e com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, não converge (as iterações divergem), portanto não é possível obter uma aproximação com a tolerância \varepsilon=10^{-2} usando Gauss–Jacobi nesta configuração.
Para completar a resposta (e para você saber qual é a solução exata do sistema), resolvi o sistema de forma direta (eliminação/Gauss) e encontrei a solução única
Isto mostra que apesar de existir solução única, a iteração de Jacobi com a matriz e ordem dadas não converge; por isso não conseguimos aproximá‑la com \varepsilon=10^{-2} usando Gauss–Jacobi.]
Resposta
(a) A matriz dos coeficientes não satisfaz o critério das linhas (não é diagonalmente dominante por linhas).
(c) O método de Gauss–Jacobi, com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \varepsilon=10^{-2}, não converge (as iterações divergem), logo não é possível obter a aproximação pedida por Jacobi. Solução exata do sistema: \displaystyle x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]