Considere o sistema de equações:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6 \\\\ 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=-1 \\\ x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=-1 \end{array}\right.
a) Verifique o critério das linhas à matriz dos coeficientes do sistema.
b) Encontre a fórmula de recorrência x^{(k+1)}=F x^{(k)}+d. Determine a matriz F e o vetor d.
c) Encontre a solução do sistema, por meio do método de Gauss-Jacobi, com x^{(0)}= \left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e \varepsilon=10^{-2}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6, \\\\ 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7, \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=-1, \\\ x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=-1, \end{array}\right.
e pede três coisas:
  1. (a) Verificar o critério das linhas para a matriz dos coeficientes (ou seja, verificar se cada elemento diagonal tem módulo maior que a soma dos módulos dos outros elementos da mesma linha).
  2. (b) Encontrar a fórmula de iteração do método de Gauss–Jacobi x^{(k+1)}=F x^{(k)}+d, isto é, determinar a matriz F e o vetor d.
  3. (c) Tentar obter a solução do sistema pelo método de Gauss–Jacobi, com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\end{pmatrix}^{T} e \varepsilon=10^{-2}.
Dados relevantes extraídos do enunciado (matriz dos coeficientes A e vetor termo independente b):
A=\begin{pmatrix} 2 & -8 & 1 & -1 \\\\ 4 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & -4 \\\\ 1 & 2 & -5 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-6\\[4pt]7\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é o “critério das linhas”? É a condição de diagonal dominante por linhas: uma matriz A=(a_{ij}) satisfaz o critério das linhas estrito se, para cada i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto é um critério suficiente (mas não necessário) para garantir convergência do método de Gauss–Jacobi. Vou calcular, linha a linha, o lado esquerdo e o lado direito da desigualdade.
Linha 1: |a_{11}|=|2|=2. Soma dos outros módulos: |-8|+|1|+|-1|=8+1+1=10. Logo 2\not>10.
Linha 2: |a_{22}|=|1|=1. Soma dos outros: |4|+|1|+|1|=4+1+1=6. Logo 1\not>6.
Linha 3: |a_{33}|=|1|=1. Soma dos outros: |1|+|1|+|{-4}|=1+1+4=6. Logo 1\not>6.
Linha 4: |a_{44}|=|1|=1. Soma dos outros: |1|+|2|+|{-5}|=1+2+5=8. Logo 1\not>8.
Conclusão: nenhuma linha satisfaz a desigualdade estrita; portanto a matriz A não é diagonalmente dominante por linhas e o critério das linhas não é satisfeito.

Passo 3

Derivando a forma do método de Gauss–Jacobi. Separarmos A=D+R, onde D é a diagonal de A e R=A-D contém os restantes. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})=-D^{-1}R\,x^{(k)}+D^{-1}b.
Portanto F=-D^{-1}R e d=D^{-1}b. Vou construir D,R,D^{-1} e então F,d.
A diagonal D e sua inversa D^{-1}:
D=\begin{pmatrix}2&0&0&0\\[2pt]0&1&0&0\\[2pt]0&0&1&0\\[2pt]0&0&0&1\end{pmatrix},\qquad D^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}&0&0&0\\[2pt]0&1&0&0\\[2pt]0&0&1&0\\[2pt]0&0&0&1\end{pmatrix}.
A parte R=A-D é
R=\begin{pmatrix} 0 & -8 & 1 & -1 \\\\ 4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & -4 \\\\ 1 & 2 & -5 & 0 \end{pmatrix}.
Agora F=-D^{-1}R. Faço linha a linha (multiplicando cada linha de R pelo escalar -1/a_{ii}):
  • Linha 1: multiplicar por -\tfrac{1}{2} (0,\;4,\;-\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{2}).
  • Linha 2: multiplicar por -1 ( -4,\;0,\;-1,\;-1).
  • Linha 3: multiplicar por -1 ( -1,\;-1,\;0,\;4).
  • Linha 4: multiplicar por -1 ( -1,\;-2,\;5,\;0).
Logo
F=\begin{pmatrix} 0 & 4 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -4 & 0 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & -1 & 0 & 4 \\[4pt] -1 & -2 & 5 & 0 \end{pmatrix}.
O vetor d=D^{-1}b é simplesmente cada entrada de b dividida pelo elemento diagonal correspondente:
d=\begin{pmatrix}-6\cdot\tfrac{1}{2}\\[4pt]7\cdot 1\\[4pt]-1\cdot 1\\[4pt]-1\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Resumo (já calculado): x^{(k+1)}=F x^{(k)}+d com F e d acima.]

Passo 4

Critério de convergência prático para Jacobi: se existir uma norma matricial consistente \|\cdot\| tal que \|F\|<1, então a iteração converge para a solução para todo x^{(0)}. Um critério simples de verificação é usar a norma \|\cdot\|_{\infty} (norma da linha: máximo da soma dos módulos por linha). Vou calcular \|F\|_{\infty} (soma dos módulos de cada linha, e pegar o máximo):
  • Linha 1: |0|+|4|+|\tfrac{1}{2}|+|\tfrac{1}{2}|=4+0{,}5+0{,}5=5.
  • Linha 2: |-4|+0+1+1=6.
  • Linha 3: 1+1+0+4=6.
  • Linha 4: 1+2+5+0=8.
Assim \|F\|_{\infty}=8>1. Conclusão: a condição suficiente \|F\|<1 (nesta norma) não é satisfeita, o que indica forte tendência de não convergência. De fato, a ausência de dominância diagonal por linhas (Passo 2) já era um aviso.

Passo 5

Computando as primeiras iterações com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} para ver o comportamento numérico.
Fórmula direta (componentes) do Jacobi é, por exemplo,
x_1^{(k+1)}=\tfrac{1}{2}\bigl(-(-8)x_2^{(k)} -1\cdot x_3^{(k)} +1\cdot x_4^{(k)} -6\bigr),
mas já temos F e d, então uso x^{(k+1)}=F x^{(k)}+d.
  • Iteração 0→1:
x^{(1)}=F x^{(0)}+d=d=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Iteração 1→2:
    Calculo x^{(2)}=F x^{(1)}+d.
    Cálculos linha a linha (detalhando):
    Linha 1: 0\cdot(-3)+4\cdot7+(-\tfrac{1}{2})(-1)+\tfrac{1}{2}(-1)=28+0{,}5-0{,}5=28. Somando d_1=-3 x^{(2)}_1=25.
    Linha 2: -4(-3)+0\cdot7+(-1)(-1)+(-1)(-1)=12+1+1=14. Somando d_2=7 x^{(2)}_2=21.
    Linha 3: -1(-3)+(-1)7+0(-1)+4(-1)=3-7+0-4=-8. Somando d_3=-1 x^{(2)}_3=-9.
    Linha 4: -1(-3)+(-2)7+5(-1)+0(-1)=3-14-5=-16. Somando d_4=-1 x^{(2)}_4=-17.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}25\\[4pt]21\\[4pt]-9\\[4pt]-17\end{pmatrix}.
Note que a diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\{|25-(-3)|,\;|21-7|,\;|-9-(-1)|,\;|-17-(-1)|\}=\max\{28,14,8,16\}=28, muito maior que \varepsilon=10^{-2}. O salto de x^{(1)} para x^{(2)} é enorme; os valores estão crescendo (em módulo) em vez de se aproximarem. Isto confirma a indicação do Passo 4 de que o método diverge para este problema com a ordem das equações dada.]

Passo 6

Resultado prático: o método de Gauss–Jacobi, com a ordenação dada e com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, não converge (as iterações divergem), portanto não é possível obter uma aproximação com a tolerância \varepsilon=10^{-2} usando Gauss–Jacobi nesta configuração.
Para completar a resposta (e para você saber qual é a solução exata do sistema), resolvi o sistema de forma direta (eliminação/Gauss) e encontrei a solução única
x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isto mostra que apesar de existir solução única, a iteração de Jacobi com a matriz e ordem dadas não converge; por isso não conseguimos aproximá‑la com \varepsilon=10^{-2} usando Gauss–Jacobi.]

Resposta

(a) A matriz dos coeficientes não satisfaz o critério das linhas (não é diagonalmente dominante por linhas).
(b) F=\begin{pmatrix} 0 & 4 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] -4 & 0 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & -1 & 0 & 4 \\[4pt] -1 & -2 & 5 & 0 \end{pmatrix},\qquad d=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
(c) O método de Gauss–Jacobi, com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \varepsilon=10^{-2}, não converge (as iterações divergem), logo não é possível obter a aproximação pedida por Jacobi. Solução exata do sistema: \displaystyle x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

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