Para pontos igualmente espaçados, ou seja, x_{1}-x_{0}=x_{2}-x_{1}=\cdots=x_{n}-x_{n-1}=h, então \left|E_{n}(x)\right|<\frac{h^{n+1} M_{n+1}}{4(n+1)}, x \in\left[x_{0}, x_{n}\right].
Objetiva-se construir uma tabela que contenha valores de \cos (x) para pontos igualmente espaçados no intervalo [1,2]. Qual deve ser o menor número de pontos desta tabela para se obter, a partir dela, o \cos (x), utilizando interpolação linear com erro menor que 10^{-6} para qualquer x \in[1,2] ?
Passo 1
O que o exercício pede: determinar o menor número de pontos igualmente espaçados na intervala [1,2] tal que, usando interpolação linear a partir dessa tabela, o erro em \cos(x) seja menor que 10^{-6} para todo x\in[1,2].
Informações dadas/no enunciado:
Para nós, os pontos são igualmente espaçados, com passo h tal que x_{k+1}-x_k=h.
onde M_{2} é a máxima, no intervalo [1,2], do valor absoluto da derivada de ordem 2 da função, ou seja
M_{2}=\max_{x\in[1,2]}\left|f''(x)\right|.
Queremos garantir \dfrac{h^{2}M_{2}}{8}<10^{-6}. Essa é a desigualdade que vamos resolver para h, e depois relacionar h com N via h=1/(N-1).
Passo 3
Calcular M_{2} para f(x)=\cos(x):
Derivadas: f'(x)=-\sin(x) e f''(x)=-\cos(x).
Logo \left|f''(x)\right|=|\cos(x)|. Então
M_{2}=\max_{x\in[1,2]}|\cos(x)|.
Observação sobre \cos(x) em [1,2]: a função \cos(x) é decrescente em [1,2] (pois f'(x)=-\sin(x)<0 para x\in[1,2]), e ela cruza zero em x=\pi/2\approx1{,}5708 que está dentro de [1,2]. Assim o valor absoluto |\cos(x)| atinge seu máximo no ponto x=1, com
Como N-1 deve ser inteiro, o menor inteiro estritamente maior que 259{,}996\dots é 260. Portanto N-1=260 e
N=260+1=261.
Conclusão: com N=261 pontos igualmente espaçados (passo h=1/260) garantimos que a cota \dfrac{h^{2}M_{2}}{8} seja menor que 10^{-6}, então o erro da interpolação linear em qualquer ponto de [1,2] ficará abaixo de 10^{-6}.