Para pontos igualmente espaçados, ou seja, x_{1}-x_{0}=x_{2}-x_{1}=\cdots=x_{n}-x_{n-1}=h, então \left|E_{n}(x)\right|<\frac{h^{n+1} M_{n+1}}{4(n+1)}, x \in\left[x_{0}, x_{n}\right].
Objetiva-se construir uma tabela que contenha valores de \cos (x) para pontos igualmente espaçados no intervalo [1,2]. Qual deve ser o menor número de pontos desta tabela para se obter, a partir dela, o \cos (x), utilizando interpolação linear com erro menor que 10^{-6} para qualquer x \in[1,2] ?

Passo 1

O que o exercício pede: determinar o menor número de pontos igualmente espaçados na intervala [1,2] tal que, usando interpolação linear a partir dessa tabela, o erro em \cos(x) seja menor que 10^{-6} para todo x\in[1,2].
Informações dadas/no enunciado:
  • Para nós, os pontos são igualmente espaçados, com passo h tal que x_{k+1}-x_k=h.
  • A fórmula de cota do erro para nós é (dada):
\left|E_{n}(x)\right|<\frac{h^{n+1}M_{n+1}}{4(n+1)},\quad x\in[x_0,x_n].
  • Queremos interpolação linear, isto é, grau 1, e erro <10^{-6} em todo o intervalo.
  • O intervalo considerado é [1,2], de comprimento 1. Se a tabela tiver N pontos igualmente espaçados, então o passo é h=\dfrac{2-1}{N-1}=\dfrac{1}{N-1}.

Passo 2

Entendendo como usar a fórmula no nosso caso (interpolação linear):
  • Para interpolação linear o grau é 1. Então no enunciado n=1.
  • Substituindo n=1 na fórmula, o erro é limitado por
\left|E_{1}(x)\right|<\frac{h^{2}M_{2}}{4\cdot 2}=\frac{h^{2}M_{2}}{8},
onde M_{2} é a máxima, no intervalo [1,2], do valor absoluto da derivada de ordem 2 da função, ou seja
M_{2}=\max_{x\in[1,2]}\left|f''(x)\right|.
  • Queremos garantir \dfrac{h^{2}M_{2}}{8}<10^{-6}. Essa é a desigualdade que vamos resolver para h, e depois relacionar h com N via h=1/(N-1).

Passo 3

Calcular M_{2} para f(x)=\cos(x):
  • Derivadas: f'(x)=-\sin(x) e f''(x)=-\cos(x).
  • Logo \left|f''(x)\right|=|\cos(x)|. Então
M_{2}=\max_{x\in[1,2]}|\cos(x)|.
  • Observação sobre \cos(x) em [1,2]: a função \cos(x) é decrescente em [1,2] (pois f'(x)=-\sin(x)<0 para x\in[1,2]), e ela cruza zero em x=\pi/2\approx1{,}5708 que está dentro de [1,2]. Assim o valor absoluto |\cos(x)| atinge seu máximo no ponto x=1, com
M_{2}=|\cos(1)|=\cos(1)\approx 0{,}5403023058681398.

Passo 4

Colocar a desigualdade do erro e isolar h:
  • Queremos
\frac{h^{2}M_{2}}{8}<10^{-6}.
  • Isolando h,
h<\sqrt{\frac{8\cdot 10^{-6}}{M_{2}}}.

Passo 5

Avaliar numericamente a expressão para h usando M_{2}=\cos(1):
  • Calcular o quociente:
\frac{8\cdot 10^{-6}}{M_{2}}=\frac{0{,}000008}{\cos(1)}\approx 1{,}480652574\times 10^{-5}.
  • Tomando raiz quadrada:
h<\sqrt{1{,}480652574\times 10^{-5}}\approx 0{,}0038476\\ \text{(aprox.)}.

Passo 6

Relacionar h com o número de pontos N e achar o menor N:
  • Lembrando h=\dfrac{1}{N-1}, a condição h<0{,}0038476 equivale a
\frac{1}{N-1}<0{,}0038476\quad\Longrightarrow\quad N-1>\frac{1}{0{,}0038476}\approx 259{,}996\dots
  • Como N-1 deve ser inteiro, o menor inteiro estritamente maior que 259{,}996\dots é 260. Portanto N-1=260 e
N=260+1=261.
  • Conclusão: com N=261 pontos igualmente espaçados (passo h=1/260) garantimos que a cota \dfrac{h^{2}M_{2}}{8} seja menor que 10^{-6}, então o erro da interpolação linear em qualquer ponto de [1,2] ficará abaixo de 10^{-6}.

Resposta

261

Exercícios relacionados