Considere um invólucro com seis superfícies na forma de um cubo, cujas faces são quadradas com lados medindo 1 m , e as seguintes condições para cada face:
Superficie Temperatura (K) emissividade
1 700 0,4
2 400 0,8
3 500 0,7
4 550 0,6
5 350 0,5
6 400 0,03
Determine o calor total em cada uma das faces.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o calor total em cada uma das faces” de um cubo cujas faces são quadradas de lado 1\\ \text{m}. As informações dadas (retiradas da tabela do enunciado) são:
Face 1: temperatura \;T_1=700\\ \text{K}, emissividade \varepsilon_1=0,4.
Face 2: temperatura \;T_2=400\\ \text{K}, emissividade \varepsilon_2=0,8.
Face 3: temperatura \;T_3=500\\ \text{K}, emissividade \varepsilon_3=0,7.
Face 4: temperatura \;T_4=550\\ \text{K}, emissividade \varepsilon_4=0,6.
Face 5: temperatura \;T_5=350\\ \text{K}, emissividade \varepsilon_5=0,5.
Face 6: temperatura \;T_6=400\\ \text{K}, emissividade \varepsilon_6=0,03.
Área de cada face (lado 1\\ \text{m}): \;A=1\\ \text{m}^2.
O que se pede é o “calor total em cada face” — aqui vamos entender isso como a potência radiada por cada face (taxa de energia radiativa emitida pela face), usando os dados fornecidos.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (lei de Stefan–Boltzmann com emissividade):
a potência radiada por uma superfície gris (emissividade \varepsilon) e área A a temperatura T é
Q = \varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4},
onde:
  • \;Q é a potência radiada (em watts, \text{W});
  • \;\varepsilon é a emissividade superficial (adimensional, 0\le\varepsilon\le1);
  • \;\sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \displaystyle \sigma = 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • \;A é a área da superfície em \text{m}^2;
  • \;T é a temperatura absoluta em kelvin ( \text{K}).
Interpretação rápida e intuitiva: T^4 cresce muito rápido com T, e \varepsilon diz que uma superfície “pobre” em emitir (pequena \varepsilon) emite menos que um corpo negro à mesma T. Como A=1\\ \text{m}^2 para cada face, Q=\varepsilon\,\sigma\,T^4.
Agora vamos calcular passo a passo para cada face: primeiro T^2, depois T^4=(T^2)^2, depois \sigma T^4 e por fim \varepsilon(\sigma T^4).

Passo 3

Cálculo para a face 1 ( T_1=700\\ \text{K}, \varepsilon_1=0,4):
Calcule T_1^2:
T_1^2 = 700^2 = 490000.
Calcule T_1^4:
T_1^4 = (T_1^2)^2 = 490000^2 = 2{,}401\times 10^{11}.
Calcule \sigma T_1^4:
\sigma T_1^4 = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}401\times10^{11} = (5{,}670374419\times 2{,}401)\times10^{3} \approx 13{,}614{,}569\times 10^{0} = 13614{,}569\\ \text{W/m}^2.
Finalmente, multiplica pela emissividade e pela área A=1:
Q_1 = \varepsilon_1\,\sigma T_1^4 = 0{,}4\times 13614{,}569 \approx 5445{,}828\\ \text{W}.

Passo 4

Cálculo para a face 2 ( T_2=400\\ \text{K}, \varepsilon_2=0,8):
T_2^2 = 400^2 = 160000,
T_2^4 = 160000^2 = 2{,}56\times10^{10},
\sigma T_2^4 = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}56\times10^{10} = (5{,}670374419\times 2{,}56)\times10^{2} \approx 1451{,}61585\\ \text{W/m}^2,
Q_2 = \varepsilon_2\,\sigma T_2^4 = 0{,}8\times 1451{,}61585 \approx 1161{,}2927\\ \text{W}.

Passo 5

Cálculo para a face 3 ( T_3=500\\ \text{K}, \varepsilon_3=0,7):
T_3^2 = 500^2 = 250000,
T_3^4 = 250000^2 = 6{,}25\times10^{10},
\sigma T_3^4 = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 6{,}25\times10^{10} = (5{,}670374419\times 6{,}25)\times10^{2} \approx 3543{,}9840\\ \text{W/m}^2,
Q_3 = \varepsilon_3\,\sigma T_3^4 = 0{,}7\times 3543{,}9840 \approx 2480{,}7888\\ \text{W}.

Passo 6

Cálculo para a face 4 ( T_4=550\\ \text{K}, \varepsilon_4=0,6):
T_4^2 = 550^2 = 302500,
T_4^4 = 302500^2 = 9{,}150625\times10^{10},
\sigma T_4^4 = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 9{,}150625\times10^{10} = (5{,}670374419\times 9{,}150625)\times10^{2} \approx 5188{,}7470\\ \text{W/m}^2,
Q_4 = \varepsilon_4\,\sigma T_4^4 = 0{,}6\times 5188{,}7470 \approx 3113{,}2482\\ \text{W}.

Passo 7

Cálculo para a face 5 ( T_5=350\\ \text{K}, \varepsilon_5=0,5):
T_5^2 = 350^2 = 122500,
T_5^4 = 122500^2 = 1{,}500625\times10^{10},
\sigma T_5^4 = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 1{,}500625\times10^{10} = (5{,}670374419\times 1{,}500625)\times10^{2} \approx 850{,}91056\\ \text{W/m}^2,
Q_5 = \varepsilon_5\,\sigma T_5^4 = 0{,}5\times 850{,}91056 \approx 425{,}4553\\ \text{W}.

Passo 8

Cálculo para a face 6 ( T_6=400\\ \text{K}, \varepsilon_6=0,03):
Já calculámos \sigma T^4 para T=400\\ \text{K} no Passo 4:
\sigma T_6^4 \approx 1451{,}61585\\ \text{W/m}^2.
Q_6 = \varepsilon_6\,\sigma T_6^4 = 0{,}03\times 1451{,}61585 \approx 43{,}5485\\ \text{W}.

Passo 9

Resumo rápido: fizemos uso direto da fórmula \;Q=\varepsilon\sigma A T^{4} com A=1\\ \text{m}^2. Em problemas de prova, memorize o passo: calcular T^2, elevar ao quadrado para T^4, multiplicar por \sigma e por \varepsilon. Se pedirem “líquido” entre faces do mesmo invólucro interior, aí entraria o método dos radiosidades e fatores de vista (sistema linear) — mas aqui a interpretação mais direta do enunciado é a potência radiada por cada face individualmente, que é o que calculámos.

Resposta

Face 1: 5445{,}8\\ \text{W}
Face 2: 1161{,}3\\ \text{W}
Face 3: 2480{,}8\\ \text{W}
Face 4: 3113{,}2\\ \text{W}
Face 5: 425{,}5\\ \text{W}
Face 6: 43{,}55\\ \text{W}

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