Calcule a área e o perímetro do Pacman de raio 10 cm , quando sua boca estiver aberta com ângulo de 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a área e o perímetro do “Pacman” quando o raio é 10\\ \text{cm} e a boca está aberta com ângulo 60^\circ.
Informações dadas (peguei o ângulo e o raio da imagem): \;r=10\\ \text{cm} e \theta=60^\circ.
O “Pacman” é uma circunferência inteira com um setor circular de ângulo \theta removido (ou seja, falta um “pedaço” em forma de setor). As perguntas são: calcular a área da figura resultante e calcular o perímetro da figura resultante.

Passo 2

Entender as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha, passo a passo):
  • Área do círculo completo: \;A_{\text{círc}}=\pi r^{2}í. Aqui r é o raio.
  • Área de um setor de um círculo com ângulo \theta (em radianos): \;A_{\text{setor}}=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta. Explicação: o setor é uma fração \dfrac{\theta}{2\pi} do círculo inteiro, então \dfrac{\theta}{2\pi}\cdot \pi r^2=\dfrac{1}{2}r^2\theta. Note que essa fórmula exige \theta em radianos.
  • Comprimento de arco correspondente a um ângulo \theta (em radianos): \;s=r\theta. Isto é derivado da definição de radiano: o arco de comprimento r\theta corresponde ao ângulo \theta.
  • Perímetro do Pacman: é a soma do comprimento do arco restante (circunferência menos o arco removido) mais os dois segmentos retos (as duas arestas radiais da boca), cada uma de comprimento r. Assim \;P = \text{(arco restante)} + 2r.
    Primeiro convertemos o ângulo para radianos porque as fórmulas de setor e arco usam radianos: \;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\\ \text{rad}.

Passo 3

Calcular a área do Pacman (passo a passo):
  1. Área do círculo inteiro com r=10: \;A_{\text{círc}}=\pi r^{2}=\pi\cdot 10^{2}=100\pi.í
  2. Ângulo em radianos: \;\theta=\dfrac{\pi}{3}.
  3. Área do setor removido: \;A_{\text{setor}}=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta=\dfrac{1}{2}\cdot 10^{2}\cdot \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\cdot 100\cdot \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{50\pi}{3}.
  4. Área restante (Pacman) = área do círculo − área do setor:
A = 100\pi - \dfrac{50\pi}{3}.
Fazendo a subtração com denominador comum 3:
A = \dfrac{300\pi}{3} - \dfrac{50\pi}{3} = \dfrac{250\pi}{3}.
Essa é a forma exata. Se quisermos um valor numérico aproximado, usamos \pi\approx 3{,}14159265:
A \approx \dfrac{250\pi}{3} \approx 261{,}80\\ \text{cm}^{2}.

Passo 4

Calcular o perímetro do Pacman (passo a passo):
  1. Comprimento da circunferência completa: \;C=2\pi r = 2\pi\cdot 10 = 20\pi.
  2. Comprimento do arco do setor removido (com \theta=\pi/3): \;s_{\text{remov}}=r\theta = 10\cdot \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3}.
  3. Comprimento do arco restante = circunferência total − arco removido:
s_{\text{rest}} = 20\pi - \dfrac{10\pi}{3} = \dfrac{60\pi}{3} - \dfrac{10\pi}{3} = \dfrac{50\pi}{3}.
(Alternativamente, usar diretamente s_{\text{rest}}=r(2\pi-\theta)=10\bigl(2\pi-\dfrac{\pi}{3}\bigr)=10\cdot\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{50\pi}{3}.)
4) Acrescentar os dois segmentos retos (duas arestas radiais da boca), cada um de comprimento r=10, totalizando 2r=20.
5) Perímetro total:
P = s_{\text{rest}} + 2r = \dfrac{50\pi}{3} + 20.
Forma exata dada acima. Aproximação numérica com \pi\approx 3{,}14159265:
P \approx \dfrac{50\pi}{3} + 20 \approx 72{,}36\\ \text{cm}.

Resposta

\displaystyle A=\dfrac{250\pi}{3}\\ \text{cm}^2 \approx 261{,}80\\ \text{cm}^2\n \displaystyle P=\dfrac{50\pi}{3}+20\\ \text{cm} \approx 72{,}36\\ \text{cm}

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