Calcule a área e o perímetro do Pacman de raio 10 cm , quando sua boca estiver aberta com ângulo de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a área e o perímetro do “Pacman” quando o raio é
e a boca está aberta com ângulo
.
Informações dadas (peguei o ângulo e o raio da imagem): e
.
O “Pacman” é uma circunferência inteira com um setor circular de ângulo removido (ou seja, falta um “pedaço” em forma de setor). As perguntas são: calcular a área da figura resultante e calcular o perímetro da figura resultante.
Informações dadas (peguei o ângulo e o raio da imagem):
O “Pacman” é uma circunferência inteira com um setor circular de ângulo
Passo 2
Entender as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha, passo a passo):
- Área do círculo completo:
. Aqui é o raio. - Área de um setor de um círculo com ângulo
(em radianos): . Explicação: o setor é uma fração do círculo inteiro, então . Note que essa fórmula exige em radianos. - Comprimento de arco correspondente a um ângulo
(em radianos): . Isto é derivado da definição de radiano: o arco de comprimento corresponde ao ângulo . - Perímetro do Pacman: é a soma do comprimento do arco restante (circunferência menos o arco removido) mais os dois segmentos retos (as duas arestas radiais da boca), cada uma de comprimento
. Assim .
Primeiro convertemos o ângulo para radianos porque as fórmulas de setor e arco usam radianos:
Passo 3
Calcular a área do Pacman (passo a passo):
- Área do círculo inteiro com
: - Ângulo em radianos:
- Área do setor removido:
- Área restante (Pacman) = área do círculo − área do setor:
Fazendo a subtração com denominador comum
:
Essa é a forma exata. Se quisermos um valor numérico aproximado, usamos
:
Passo 4
Calcular o perímetro do Pacman (passo a passo):
- Comprimento da circunferência completa:
- Comprimento do arco do setor removido (com
): - Comprimento do arco restante = circunferência total − arco removido:
(Alternativamente, usar diretamente
.)
4) Acrescentar os dois segmentos retos (duas arestas radiais da boca), cada um de comprimento , totalizando
.
5) Perímetro total:
4) Acrescentar os dois segmentos retos (duas arestas radiais da boca), cada um de comprimento
5) Perímetro total:
Forma exata dada acima. Aproximação numérica com
: