Considere um jogo que consiste em lançar uma moeda 3 vezes. Suponha que se ganha 1 real quando o lançamento resulta cara e perdemos 1 real quando o lançamento resulta coroa. Considerando que a moeda não viciada e estamos interessados no ganho total, calcule: A variância e desvio padrão para o ganho total.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente lança uma moeda justa 3 vezes. Cada cara dá +1 R$ e cada coroa dá -1 R$. Queremos achar a variância e o desvio padrão do ganho total.
Conteúdo: variância e desvio padrão de soma de variáveis independentes. Vamos usar definição de esperança, variância de uma variável simples e a propriedade de soma de variâncias.

Passo 2

Definindo cada jogada: seja Xi o ganho na i-ésima jogada.
  • Se sair cara: Xi = +1 com probabilidade 1/2.
  • Se sair coroa: Xi = -1 com probabilidade 1/2.
    A soma total é S = X1 + X2 + X3.

Passo 3

Vamos calcular a esperança e a variância de uma jogada qualquer Xi.
  1. Esperança: E[Xi] = (+1)cdot12 + (-1)cdot12 = 0
    2) Segundo momento:
    E[Xi^2] = (1)^2cdot12 + (-1)^2cdot12 = 1
  2. Variância: Var(Xi) = E[Xi^2] - [E[Xi]]^2 = 1 - 0^2 = 1
    Isso significa que cada jogada tem variância 1.

Passo 4

Como as jogadas são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Var(S) = Var(X1 + X2 + X3) = Var(X1)+Var(X2)+Var(X3) = 1+1+1 = 3

Passo 5

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
sigmaS = raizVar(S) = raiz3

Resposta

Variância do ganho total: 3
Desvio padrão do ganho total: raiz3

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