Considere um jogo que consiste em lançar uma moeda 3 vezes. Suponha que se ganha 1 real quando o lançamento resulta cara e perdemos 1 real quando o lançamento resulta coroa. Considerando que a moeda não viciada e estamos interessados no ganho total, calcule: A variância e desvio padrão para o ganho total.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente lança uma moeda justa 3 vezes. Cada cara dá +1 R$ e cada coroa dá -1 R$. Queremos achar a variância e o desvio padrão do ganho total.
Conteúdo: variância e desvio padrão de soma de variáveis independentes. Vamos usar definição de esperança, variância de uma variável simples e a propriedade de soma de variâncias.
Conteúdo: variância e desvio padrão de soma de variáveis independentes. Vamos usar definição de esperança, variância de uma variável simples e a propriedade de soma de variâncias.
Passo 2
Definindo cada jogada: seja
o ganho na
-ésima jogada.
- Se sair cara:
com probabilidade . - Se sair coroa:
com probabilidade .
A soma total é.
Passo 3
Vamos calcular a esperança e a variância de uma jogada qualquer
.
- Esperança:
2) Segundo momento:
- Variância:
Isso significa que cada jogada tem variância 1.
Passo 4
Como as jogadas são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Passo 5
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
Variância do ganho total:
Desvio padrão do ganho total:
Desvio padrão do ganho total: