Uma variável aleatória tem a seguinte função de distribuição de probabilidade:
Determine: E(X^2).
Passo 1
Beleza, turma! O exercício nos dá a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória discreta El[g(X)r]=sumx g(x),p(x) e pede para calcular .
Conteúdos envolvidos:
Como passar da CDF para a probabilidade pontual .
Definição de esperança de função de :
Aqui vamos usar .
Passo 2
Primeiro, entenda que a CDF “sobe em degraus” exatamente nos pontos em que a variável assume valor. Esses “degraus” têm tamanhos iguais às probabilidades pontuais.
Em geral, para uma variável discreta:
p(xi)=P(X=xi)=F(xi)-limtto xi^-F(t)
Ou seja, a probabilidade em é o salto de em .
Passo 3
Olha os pontos em que p(10)=F(10)-limtto10^-F(t)=0,2-0=0,2 muda de valor: 10, 12, 13 e 25.
Vamos calcular cada probabilidade:
Em p(12)=F(12)-F(12^-)=0,5-0,2=0,3 : p(13)=0,9-0,5=0,4
Em p(25)=1-0,9=0,1 :
Em :
Em :
Passo 4
Agora usamos a fórmula de esperança de E(X^2)=sumx x^2,p(x) :