Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição de probabilidade:
F(X <= x)=cc 0 & x<10 0,2 & 10 <= x<12 0,5 & 12 <= x<13 0,9 & 13 <= x<25 1 & x >= 25
Determine: E(X^2).

Passo 1

Beleza, turma! O exercício nos dá a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória discreta El[g(X)r]=sumx g(x),p(x) e pede para calcular .
Conteúdos envolvidos:
  1. Como passar da CDF para a probabilidade pontual .
  2. Definição de esperança de função de :
Aqui vamos usar .

Passo 2

Primeiro, entenda que a CDF “sobe em degraus” exatamente nos pontos em que a variável assume valor. Esses “degraus” têm tamanhos iguais às probabilidades pontuais.
Em geral, para uma variável discreta:
p(xi)=P(X=xi)=F(xi)-limtto xi^-F(t)
Ou seja, a probabilidade em é o salto de em .

Passo 3

Olha os pontos em que p(10)=F(10)-limtto10^-F(t)=0,2-0=0,2 muda de valor: 10, 12, 13 e 25.
Vamos calcular cada probabilidade:
  • Em p(12)=F(12)-F(12^-)=0,5-0,2=0,3 : p(13)=0,9-0,5=0,4
  • Em p(25)=1-0,9=0,1 :
  • Em :
  • Em :

Passo 4

Agora usamos a fórmula de esperança de E(X^2)=sumx x^2,p(x) :
Aqui a soma é só sobre .

Passo 5

Bora calcular termo a termo:
10^2cdot0,2 &=100cdot0,2=20, 12^2cdot0,3 &=144cdot0,3=43,2, 13^2cdot0,4 &=169cdot0,4=67,6, 25^2cdot0,1 &=625cdot0,1=62,5
Somando tudo:
20 + 43,2 + 67,6 + 62,5 = 193,3

Resposta

E(X^2) = 193,3

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