Considere um jogo que consiste em lançar uma moeda 3 vezes. Suponha que se ganha 1 real quando o lançamento resulta cara e perdemos 1 real quando o lançamento resulta coroa. Considerando que a moeda não viciada e estamos interessados no ganho total, calcule: O valor esperado do ganho total.
Passo 1
Beleza, o exercício é o seguinte: a gente vai lançar uma moeda justa 3 vezes. Cada vez que sai cara você ganha R$ 1 e cada vez que sai coroa você perde R$ 1. Queremos descobrir o valor esperado do ganho total (ou seja, em média, quanto a gente ganha depois de 3 lançamentos). Isso é um problema de probabilidade envolvendo “valor esperado” (expectation) e a propriedade de “linearidade da esperança”.
Passo 2
Primeiro, o que é valor esperado?
Se você tem uma variável aleatória que pode assumir valores
com probabilidades
, então
Se você tem uma variável aleatória
Aqui cada lançamento gera um ganho
(cara) ou
(coroa). Vamos chamar de
o ganho no i-ésimo lançamento.
Passo 3
Calcular
para um único lançamento:
- P(cara) =
, ganha . - P(coroa) =
, ganha .
Então
Passo 4
Agora, como os lançamentos são independentes, podemos usar a linearidade da esperança:
Cada
, logo
Resposta
O valor esperado do ganho total é R$ 0.