Considere um jogo que consiste em lançar uma moeda 3 vezes. Suponha que se ganha 1 real quando o lançamento resulta cara e perdemos 1 real quando o lançamento resulta coroa. Considerando que a moeda não viciada e estamos interessados no ganho total, calcule: O valor esperado do ganho total.

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: a gente vai lançar uma moeda justa 3 vezes. Cada vez que sai cara você ganha R$ 1 e cada vez que sai coroa você perde R$ 1. Queremos descobrir o valor esperado do ganho total (ou seja, em média, quanto a gente ganha depois de 3 lançamentos). Isso é um problema de probabilidade envolvendo “valor esperado” (expectation) e a propriedade de “linearidade da esperança”.

Passo 2

Primeiro, o que é valor esperado?
Se você tem uma variável aleatória E(X) ;=;sumi xi ,pi que pode assumir valores com probabilidades , então
Aqui cada lançamento gera um ganho (cara) ou (coroa). Vamos chamar de o ganho no i-ésimo lançamento.

Passo 3

Calcular E(Xi) ;=;(1)cdot12 + (-1)cdot12 = 12 - 12 = 0 para um único lançamento:
  • P(cara) = , ganha .
  • P(coroa) = , ganha .
    Então

Passo 4

Agora, como os lançamentos são independentes, podemos usar a linearidade da esperança:
E(X1 + X2 + X3) ;=;E(X1)+E(X2)+E(X3)
Cada El(ganho totalr) = 0 + 0 + 0 = 0 , logo

Resposta

O valor esperado do ganho total é R$ 0.

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