Considere a lagrangeana L=\frac{\dot{m} \dot{x}^{2}}{2}+\alpha \dot{x} x-\beta x^{4}, definida para um sistema físico particular com m, \alpha e \beta constantes. A equação de movimento para esse sistema é
a) \ddot{x}+(2 \alpha / m) \dot{x}+\left(4 \beta / m^{2}\right) x^{3}=0
b) \ddot{x}+(\beta / m) x^{3}=0
c) \ddot{x}+(\alpha / m) \dot{x}+(4 \beta / m) x^{3}=0
d) \quad \ddot{x}+(4 \beta / m) x^{3}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a lagrangeana
L = \frac{m\dot{x}^2}{2} \;+\;\alpha\,x\,\dot{x}\;-\;\beta\,x^4
com m,\alpha,\beta constantes, e pede a equação de movimento. Para isso vamos usar a equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\Bigr)\;-\;\frac{\partial L}{\partial x}\;=\;0.

Passo 2

Calcular
\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} =\;m\,\dot{x} \;+\;\alpha\,x.
Derivando em relação a t:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\Bigr) = m\,\ddot{x} \;+\;\alpha\,\dot{x}.

Passo 3

Calcular
\frac{\partial L}{\partial x} =\;\alpha\,\dot{x} \;-\;4\,\beta\,x^3.

Passo 4

Substituindo na Euler–Lagrange:
m\,\ddot{x} + \alpha\,\dot{x} -\bigl(\alpha\,\dot{x} - 4\beta\,x^3\bigr) =0 \;\;\Longrightarrow\;\; m\,\ddot{x} +4\beta\,x^3 =0.
Dividindo por m obtemos
\ddot{x} + \frac{4\beta}{m}\,x^3 = 0.

Resposta

d) \ddot{x} + \tfrac{4\beta}{m}\,x^{3} = 0

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