Uma partícula de massa 3 kg tem o vetor-posição em coordenadas retangulares dado em metros por \vec{r}=t^{3} \hat{\mathbf{x}}-2 t \hat{\mathbf{y}}. O momento angular da partícula em função do tempo é
a) 3 t^{2} \hat{\mathbf{x}}-6 \hat{\mathbf{y}}
b) 12 t^{3} \hat{\mathbf{z}}
c) 18 t^{3} \hat{\mathbf{z}}
d) 3 t^{2} \hat{\mathbf{x}}

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=3\;\mathrm{kg} com vetor-posição
\vec{r}(t)=t^{3}\,\hat{\mathbf{x}}-2t\,\hat{\mathbf{y}}
e pede o momento angular \vec{L}(t)=\vec{r}\times\vec{p}=m\,\bigl(\vec{r}\times\vec{v}\bigr).

Passo 2

Calcular a velocidade \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}. Derivando componente a componente,
\vec{v}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)\,\hat{\mathbf{x}} -\frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)\,\hat{\mathbf{y}} =3t^{2}\,\hat{\mathbf{x}}-2\,\hat{\mathbf{y}}.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{r}\times\vec{v}. Para vetores no plano xy,
\vec{r}\times\vec{v} =\bigl(r_x,r_y,0\bigr)\times\bigl(v_x,v_y,0\bigr) =\bigl(0,0,r_x\,v_y-r_y\,v_x\bigr),
com \,r_x=t^3,\;r_y=-2t,\;v_x=3t^2,\;v_y=-2.
Logo
r_x\,v_y - r_y\,v_x =t^3\cdot(-2)-(-2t)\cdot(3t^2) =-2t^3+6t^3 =4t^3,
e
\vec{r}\times\vec{v} =4t^3\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 4

Multiplicar por m=3 para obter o momento angular:
\vec{L}(t) =3\;\bigl(4t^3\,\hat{\mathbf{z}}\bigr) =12t^3\,\hat{\mathbf{z}}.

Resposta

(b) 12t^{3}\,\hat{\mathbf{z}}

Exercícios relacionados