Um reservatório de paredes verticais, aberto no topo, é colocado sobre uma base horizontal. Ele está preenchido com água até uma altura h. Uma grossa camada de óleo, com densidade 50 % menor que a água, de espessura h1=h / 2 é colocada sobre a água, como mostra a figura. Abrimos um pequeno orifício na parede lateral, na parte que contém água. Determine: (a) a altura y que maximiza o alcance D da água e (b) o alcance D para esta altura, ambos em termos de h. © Caso a camada de óleo fosse trocada por água, como isso afetaria os resultados anteriores? Calcule os novos y e D.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um reservatório com água até altura e, por cima, uma camada de óleo de espessura . Há um furo na parede, dentro da parte com água, a uma distância do fundo.
Conteúdo: Hidrostática (Teorema de Torricelli) + Dinâmica de projétil (queda livre e alcance horizontal).
Vamos precisar de:
  1. Pressão hidrostática até o furo e a velocidade de saída .
  2. Tempo de queda livre e alcance .
  3. Otimizar em função de .

Passo 2

Primeiro calcula a pressão no furo. Como está abaixo de óleo e água,
P = rhorm água,g,y ;+;rhorm ó<=o,g,h1 áó
Pelo Teorema de Torricelli, a velocidade de saída é
v = raiz2Prhorm água = raiz2gl(y + rhorm ó<=orhorm água,h1r) áóá

Passo 3

No nosso caso v = raiz2gl(y + 0,5;h2r) = raiz2gl(y + tfrach4r) óá e , então

Passo 4

O jato sai horizontalmente do furo a altura t = raiz2yg . O tempo de queda até o chão é
D = v,t = raiz2gl(y + tfrach4r);raiztfrac2yg = 2,raiz,yl(y + tfrach4r),
Logo o alcance

Passo 5

Para maximizar f(y)=yl(y+tfrac h4r)=y^2+tfrac h4,y basta maximizar
f'(y)=2y+tfrac h4>0forall,y>=0,
Diferenciando:
ou seja, é crescente em todo o intervalo . Então o máximo ocorre em .

Passo 6

Substituindo Dmax =2,raiz,hl(h+tfrac h4r), =2,raiztfrac5h^24 = hraiz5 em :

Passo 7

© Se trocarmos o óleo por água, toda a coluna até o topo é água (altura total P=rhorm água,g,(3h/2 - y), ). A pressão no furo a v=raiz2g,(3h/2-y) do fundo é
D= v,t = raiz2g,(3h/2-y);raiztfrac2yg =2raiz,yl(tfrac3h2-yr), á
portanto
O alcance fica

Passo 8

Maximizando g'(y)=tfrac3h2-2y=0 Longrightarrow y=tfrac3h4 :

Passo 9

Alcance na posição ótima:
Dmax =2raiztfrac3h4l(tfrac3h2-tfrac3h4r) =2raiztfrac3h4cdottfrac3h4 =2cdottfrac3h4 =tfrac3h2

Resposta

(a) A altura boxedy=h que maximiza o alcance é
boxedD = hraiz5
(b) O alcance máximo vale
boxedy=tfrac3h4, D=tfrac3h2
© Com água no lugar do óleo:

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