Um reservatório de paredes verticais, aberto no topo, é colocado sobre uma base horizontal. Ele está preenchido com água até uma altura h. Uma grossa camada de óleo, com densidade
menor que a água, de espessura
é colocada sobre a água, como mostra a figura. Abrimos um pequeno orifício na parede lateral, na parte que contém água. Determine: (a) a altura y que maximiza o alcance D da água e (b) o alcance D para esta altura, ambos em termos de h. © Caso a camada de óleo fosse trocada por água, como isso afetaria os resultados anteriores? Calcule os novos y e D.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um reservatório com água até altura
e, por cima, uma camada de óleo de espessura
. Há um furo na parede, dentro da parte com água, a uma distância
do fundo.
Conteúdo: Hidrostática (Teorema de Torricelli) + Dinâmica de projétil (queda livre e alcance horizontal).
Vamos precisar de:
Conteúdo: Hidrostática (Teorema de Torricelli) + Dinâmica de projétil (queda livre e alcance horizontal).
Vamos precisar de:
- Pressão hidrostática até o furo e a velocidade de saída
. - Tempo de queda livre
e alcance . - Otimizar
em função de .
Passo 2
Primeiro calcula a pressão no furo. Como está abaixo de óleo e água,
Pelo Teorema de Torricelli, a velocidade de saída é
Passo 3
No nosso caso
e
, então
Passo 4
O jato sai horizontalmente do furo a altura
. O tempo de queda até o chão é
Logo o alcance
Passo 5
Para maximizar
basta maximizar
Diferenciando:
ou seja,
é crescente em todo o intervalo
. Então o máximo ocorre em
.
Passo 6
Substituindo
em
:
Passo 7
© Se trocarmos o óleo por água, toda a coluna até o topo é água (altura total
). A pressão no furo a
do fundo é
portanto
O alcance fica
Passo 8
Maximizando
:
Passo 9
Alcance na posição ótima:
Resposta
(a) A altura
que maximiza o alcance é
(b) O alcance máximo vale
© Com água no lugar do óleo: