Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas
é dada por
onde
é uma constante arbitrária.
Identifique as constantes de movimento do sistema.
Identifique as constantes de movimento do sistema.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar as constantes de movimento de um sistema que tem Lagrangiana em coordenadas esféricas
Conteúdo: mecânica lagrangiana. O que vamos usar:
- Coeficiente cíclico (coordenada que não aparece explicitamente em L) → momentum generalizado associado é constante.
- Se L não depende do tempo t de modo explícito → energia (função hamiltoniana) é constante.
Passo 2
Vamos procurar coordenadas “cíclicas”. Note que φ não aparece em L (aparece só
), então
Calculemos
Logo está aí a nossa primeira constante de movimento:
Passo 3
Agora, repare que L não depende de
de forma explícita (não tem “
” solto na fórmula). Isso implica conservação da energia total
, dada por
com
e
.
Passo 4
Vamos escrever
. Primeiro achamos os momentos:
Então
Substituindo e arrumando dá
Resposta
As constantes de movimento são:
- O momento angular em torno de
,
- A energia total do sistema,