Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas (r, theta, phi) é dada por
L=m2(dotr^2+r^2 dottheta^2+r^2 sin ^2 theta dotphi^2)-kr(1+12 dotr^2c^2)
onde k é uma constante arbitrária.
Identifique as constantes de movimento do sistema.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar as constantes de movimento de um sistema que tem Lagrangiana em coordenadas esféricas
L=m2l(dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotphi^2r);-;krl(1+12dot r^2c^2r),
Conteúdo: mecânica lagrangiana. O que vamos usar:
  1. Coeficiente cíclico (coordenada que não aparece explicitamente em L) → momentum generalizado associado é constante.
  2. Se L não depende do tempo t de modo explícito → energia (função hamiltoniana) é constante.

Passo 2

Vamos procurar coordenadas “cíclicas”. Note que φ não aparece em L (aparece só partial Lpartialphi=0Longrightarrow pphi=partial Lpartialdotphi é constante), então
pphi =partialpartialdotphil[tfrac m2,r^2sin^2theta,dotphi^2r] = m,r^2sin^2theta,dotphi, é
Calculemos boxedLz = pphi = m,r^2sin^2theta,dotphi = constante :

Logo está aí a nossa primeira constante de movimento:

Passo 3

Agora, repare que L não depende de E=sumqidot qi;pi - L de forma explícita (não tem “ ” solto na fórmula). Isso implica conservação da energia total , dada por
com e .

Passo 4

Vamos escrever pr=partial Lpartialdot r = m,dot r;-;kr,dot rc^2, ptheta= partial Lpartialdottheta = m,r^2,dottheta, pphi= m,r^2sin^2theta,dotphi . Primeiro achamos os momentos:
E =dot r,pr+dottheta,ptheta+dotphi,pphi-L
Então
E = m2,dot r^2l(1+km c^2 rr) ;+; m2,r^2dottheta^2 ;+; m2,r^2sin^2theta,dotphi^2 ;+;kr =constante
Substituindo e arrumando dá

Resposta

As constantes de movimento são:
  1. O momento angular em torno de boxedpphi=m,r^2sin^2theta,dotphi;, ,
boxedE =tfrac m2,dot r^2l(1+tfrackm c^2 rr) +tfrac m2,r^2dottheta^2 +tfrac m2,r^2sin^2theta,dotphi^2 +tfrackr ;
  1. A energia total do sistema,

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