Considere uma partícula de massa m se movendo em um campo de força central atrativo com energia potencial dada por:
V=-kr cos (omega t)
onde k e omega são constantes, t é o tempo, e r a distância radial da partícula ao centro da força.
Determine se a Hamiltoniana corresponde à energia total do sistema.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma partícula de massa V(r,t) = -kr,cos(omega t) num campo central atrativo cuja energia potencial é
O assunto aqui é Mecânica Hamiltoniana: a gente vai montar o Lagrangiano, definir os momentos canônicos e fazer a transformada de Legendre pra achar a Hamiltoniana. Aí, com a Hamiltoniana em mãos, vemos se ela bate com a energia total (cinética + potencial) do sistema.

Passo 2

Antes de mais nada, lembrando a teoria básica: em coordenadas polares num problema central, a energia cinética é
T = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2dottheta^2r),
e o Lagrangiano é
L = T - V = tfrac12,m(dot r^2 + r^2dottheta^2) ;+;krcos(omega t)
A ideia é achar os momentos canônicos
pr = partial Lpartialdot r, ptheta = partial Lpartialdottheta,
porque daí a gente constrói a Hamiltoniana por
H = prdot r + pthetadottheta - L

Passo 3

Vamos calcular os momentos canônicos:
  1. Para pr = partialpartialdot rl[tfrac12,mdot r^2r] = m,dot r :
ptheta = partialpartialdotthetal[tfrac12,m,r^2dottheta^2r] = m,r^2,dottheta
  1. Para :
Repara que não depende das velocidades, então não entra aí.

Passo 4

Agora a transformada de Legendre:
H = prdot r + pthetadottheta - L
Substituindo H = prprm + pthetapthetam,r^2 - l[tfrac12,m(dot r^2 + r^2dottheta^2) + Vr] e H = pr^22m + ptheta^22m,r^2 + V(r,t) e o boxedH = T + V lá de cima, dá
Se você organizar, vê que
Mas note: é exatamente . Logo

Passo 5

Só que tem um porém: dHdt = partial Hpartial t = partial Vpartial t = kr,omegasin(omega t)neq0 depende de explicitamente ( ). Na teoria, quando , a Hamiltoniana não é conservada. Na real,
em geral.

Resposta

Sim, a Hamiltoniana desse sistema é exatamente a energia total instantânea . Mas, como varia no tempo, essa energia não fica constante ao longo da evolução.

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