Considere uma partícula de massa
se movendo em um campo de força central atrativo com energia potencial dada por:
onde
e
são constantes,
é o tempo, e
a distância radial da partícula ao centro da força.
Determine se a Hamiltoniana corresponde à energia total do sistema.
Determine se a Hamiltoniana corresponde à energia total do sistema.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma partícula de massa
num campo central atrativo cuja energia potencial é
O assunto aqui é Mecânica Hamiltoniana: a gente vai montar o Lagrangiano, definir os momentos canônicos e fazer a transformada de Legendre pra achar a Hamiltoniana. Aí, com a Hamiltoniana em mãos, vemos se ela bate com a energia total (cinética + potencial) do sistema.
Passo 2
Antes de mais nada, lembrando a teoria básica: em coordenadas polares num problema central, a energia cinética é
e o Lagrangiano é
A ideia é achar os momentos canônicos
porque daí a gente constrói a Hamiltoniana por
Passo 3
Vamos calcular os momentos canônicos:
- Para
:
- Para
:
Repara que
não depende das velocidades, então não entra aí.
Passo 4
Agora a transformada de Legendre:
Substituindo
e
e o
lá de cima, dá
Se você organizar, vê que
Mas note:
é exatamente
. Logo
Passo 5
Só que tem um porém:
depende de
explicitamente (
). Na teoria, quando
, a Hamiltoniana não é conservada. Na real,
em geral.
Resposta
Sim, a Hamiltoniana desse sistema é exatamente a energia total instantânea
. Mas, como
varia no tempo, essa energia não fica constante ao longo da evolução.