Considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes eventos:
  • A= soma par
  • B= soma >= 9
  • B^prime= soma <= 9
  • C= máximo das faces é 6
    Calcule A cap B, A cup B, A-B, B-A, B cap C, B-C.

Passo 1

Beleza, a gente tem um experimento de jogar dois dados justos. O enunciado define três eventos:
  • A cap B, A cup B, A - B, B - A, B cap C, B - C : “a soma dos dois dados é par”
  • : “a soma é maior ou igual a 9”
  • : “o maior dos dois resultados é 6”
O que a gente precisa calcular são operações de conjuntos (interseção, união e diferença) entre esses eventos:
Para isso, a gente vai usar:
  1. Noção de espaço amostral para dois dados;
  2. Definições de interseção ( ), união ( ) e diferença ( );
  3. Como listar todos os pares , com , que satisfazem cada condição.

Passo 2

Primeiro, definir o espaço amostral e cada evento:
  • , total de resultados.
  • é.
  • .
  • (ou seja, pelo menos um dos dados deu 6).
Vamos anotar também que:
– Soma par significa .
– Soma significa .
– Ter máximo 6 significa “um dos resultados é 6”.

Passo 3

Calcular Acap B = (4,6),(5,5),(6,4),(6,6) .
Interseção é “o que está em A e em B ao mesmo tempo”.
Em termos de soma, queremos somas pares e , logo só podem ser ou .
  • Soma :
  • Soma :
Então

Passo 4

Agora .
União é tudo que está em A ou em B (ou nos dois).
  • resultados, e já vimos .
  • Pela fórmula .
Em lista, dá para escrever (vou agrupar por soma):
  1. Somas pares abaixo de 9 (que estão em A mas não em B):
  2. Somas pares (ou seja, ):
  3. Somas ímpares (que estão em B mas não em A):
    .
Juntando tudo, são 24 pares.

Passo 5

Calcular A - B = (1,1);,(1,3),(2,2),(3,1);,(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1);,(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2), .
Diferença é “o que está em A mas não em B”.
Logo são todas as somas pares menores que 9:
total de 14 resultados.

Passo 6

Calcular B - A = (3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5), .
Aqui é “o que está em B mas não em A”: somas e ímpares, ou seja e :
são 6 pares.

Passo 7

Calcular Bcap C = (6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(3,6),(4,6),(5,6), .
Interseção de “soma ” com “ter um 6”:
Listamos todos em que também têm soma :
.
Logo
7 resultados.

Passo 8

Calcular B - C = (4,5),(5,4),(5,5) .
É “está em B mas não em C”: pega os 10 de e retira os 7 de , sobrando 3 casos sem nenhum dado igual a 6:

Resposta

  • tem 24 pares (lista no Passo 4)
  • .

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