Considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes eventos:
-
soma par
-
soma
-
soma
-
máximo das faces é 6
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, a gente tem um experimento de jogar dois dados justos. O enunciado define três eventos:
-
: “a soma dos dois dados é par” -
: “a soma é maior ou igual a 9” -
: “o maior dos dois resultados é 6”
O que a gente precisa calcular são operações de conjuntos (interseção, união e diferença) entre esses eventos:
Para isso, a gente vai usar:
- Noção de espaço amostral
para dois dados; - Definições de interseção (
), união ( ) e diferença ( ); - Como listar todos os pares
, com , que satisfazem cada condição.
Passo 2
Primeiro, definir o espaço amostral e cada evento:
-
, total de resultados. -
. -
. -
(ou seja, pelo menos um dos dados deu 6).
Vamos anotar também que:
– Soma par significa .
– Soma significa
.
– Ter máximo 6 significa “um dos resultados é 6”.
– Soma par significa
– Soma
– Ter máximo 6 significa “um dos resultados é 6”.
Passo 3
Calcular
.
Interseção é “o que está em A e em B ao mesmo tempo”.
Em termos de soma, queremos somas pares e , logo só podem ser
ou
.
Interseção é “o que está em A e em B ao mesmo tempo”.
Em termos de soma, queremos somas pares e
- Soma
: - Soma
:
Então
Passo 4
Agora
.
União é tudo que está em A ou em B (ou nos dois).
União é tudo que está em A ou em B (ou nos dois).
-
resultados, e já vimos . - Pela fórmula
.
Em lista, dá para escrever (vou agrupar por soma):
- Somas pares abaixo de 9 (que estão em A mas não em B):
- Somas pares
(ou seja, ):
- Somas ímpares
(que estão em B mas não em A):
.
Juntando tudo, são 24 pares.
Passo 5
Calcular
.
Diferença é “o que está em A mas não em B”.
Logo são todas as somas pares menores que 9:
Diferença é “o que está em A mas não em B”.
Logo são todas as somas pares menores que 9:
total de 14 resultados.
Passo 6
Calcular
.
Aqui é “o que está em B mas não em A”: somas e ímpares, ou seja
e
:
Aqui é “o que está em B mas não em A”: somas
são 6 pares.
Passo 7
Calcular
.
Interseção de “soma ” com “ter um 6”:
Listamos todos em que também têm soma
:
.
Logo
Interseção de “soma
Listamos todos em
Logo
7 resultados.
Passo 8
Calcular
.
É “está em B mas não em C”: pega os 10 de e retira os 7 de
, sobrando 3 casos sem nenhum dado igual a 6:
É “está em B mas não em C”: pega os 10 de
Resposta
-
-
tem 24 pares (lista no Passo 4) -
-
-
-
.