Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos itens abaixo, determine a função de probabilidade, a esperança e a variância da variável aleatória X quando
X é o produto dos valores observados;

Passo 1

Você lança dois dados justos ao mesmo tempo. Para cada item pedido, queremos: a função de probabilidade de X, a esperança de X e a variância de X, onde X é o produto dos valores observados nos dois dados. Informações dadas e condições que vamos usar:
  • Cada dado tem faces \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os dois lançamentos são independentes e cada um tem distribuição uniforme discreta sobre essas 6 faces.
  • O espaço amostral de pares ordenados (i,j) tem 6\times6=36 resultados igualmente prováveis.
  • A variável aleatória é X = A\cdot B, onde A é o resultado do primeiro dado e B do segundo.
    A partir disso vamos achar a função de probabilidade P(X=x), a esperança E[X] e a variância \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Como os 36 pares (i,j) com i,j\in\{1,\dots,6\} são igualmente prováveis, a probabilidade de um produto k é
P(X=k)=\frac{\#\{(i,j): i\cdot j=k,\\ i,j\in\{1,\dots,6\}\}}{36}.
Ou seja, primeiro contamos quantas vezes o produto k aparece nos 36 pares ordenados; depois dividimos por 36. Vou listar todos os produtos possíveis e quantas vezes aparecem (contagem dos pares ordenados).

Passo 3

Agora a enumeração dos produtos e suas contagens (obtidas listando todos os pares ordenados ou pensando nos divisores de cada produto dentro de \{1,\dots,6\}). A seguir apresento a probabilidade de cada valor que X pode assumir:
P(X=1)=\frac{1}{36}
P(X=2)=\frac{2}{36}
P(X=3)=\frac{2}{36}
P(X=4)=\frac{3}{36}
P(X=5)=\frac{2}{36}
P(X=6)=\frac{4}{36}
P(X=8)=\frac{2}{36}
P(X=9)=\frac{1}{36}
P(X=10)=\frac{2}{36}
P(X=12)=\frac{4}{36}
P(X=15)=\frac{2}{36}
P(X=16)=\frac{1}{36}
P(X=18)=\frac{2}{36}
P(X=20)=\frac{2}{36}
P(X=24)=\frac{2}{36}
P(X=25)=\frac{1}{36}
P(X=30)=\frac{2}{36}
P(X=36)=\frac{1}{36}
(Verificação rápida: somando todas as contagens obtemos 36, então as probabilidades somam 1.)

Passo 4

Agora calculamos a esperança E[X]. Uma maneira elegante é usar a independência: se A e B são os resultados dos dois dados, então X=AB e
E[X]=E[AB]=E[A]\,E[B],
porque A e B são independentes. Calculemos E[A]:
E[A]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}.
Portanto
E[X]=\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{49}{4}=12{,}25.
(Dica didática: ao ver produto de duas variáveis independentes, use E[AB]=E[A]E[B] — isso economiza trabalho.)

Passo 5

Para a variância precisamos de E[X^2]. Novamente, usando independência,
E[X^2]=E[(AB)^2]=E[A^2]\,E[B^2].
Calcule E[A^2]:
\sum_{i=1}^{6} i^2 = 1+4+9+16+25+36 = 91,
logo
E[A^2]=\frac{91}{6}.
Assim
E[X^2]=\left(\frac{91}{6}\right)^2=\frac{8281}{36}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2.
Substituindo os valores que encontramos:
\operatorname{Var}(X)=\frac{8281}{36}-\left(\frac{49}{4}\right)^2.
Calcule \left(\dfrac{49}{4}\right)^2=\dfrac{2401}{16}. Colocando numa denominação comum 144:
\frac{8281}{36}=\frac{8281\cdot 4}{144}=\frac{33124}{144}, \qquad \frac{2401}{16}=\frac{2401\cdot 9}{144}=\frac{21609}{144}.
Subtraindo,
\operatorname{Var}(X)=\frac{33124-21609}{144}=\frac{11515}{144}\approx 79{,}930555\ldots
Podemos também notar a fatoração 11515=5\cdot49\cdot47, mas a forma \dfrac{11515}{144} é adequada.

Resposta

P(X=1)=\dfrac{1}{36}
P(X=2)=\dfrac{2}{36}
P(X=3)=\dfrac{2}{36}
P(X=4)=\dfrac{3}{36}
P(X=5)=\dfrac{2}{36}
P(X=6)=\dfrac{4}{36}
P(X=8)=\dfrac{2}{36}
P(X=9)=\dfrac{1}{36}
P(X=10)=\dfrac{2}{36}
P(X=12)=\dfrac{4}{36}
P(X=15)=\dfrac{2}{36}
P(X=16)=\dfrac{1}{36}
P(X=18)=\dfrac{2}{36}
P(X=20)=\dfrac{2}{36}
P(X=24)=\dfrac{2}{36}
P(X=25)=\dfrac{1}{36}
P(X=30)=\dfrac{2}{36}
P(X=36)=\dfrac{1}{36}
E[X]=\dfrac{49}{4}=12{,}25
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{11515}{144}\approx 79{,}930555

Exercícios relacionados