Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos itens abaixo, determine a função de probabilidade, a esperança e a variância da variável aleatória
quando
é o produto dos valores observados;
Passo 1
Você lança dois dados justos ao mesmo tempo. Para cada item pedido, queremos: a função de probabilidade de
, a esperança de
e a variância de
, onde
é o produto dos valores observados nos dois dados. Informações dadas e condições que vamos usar:
- Cada dado tem faces
. - Os dois lançamentos são independentes e cada um tem distribuição uniforme discreta sobre essas 6 faces.
- O espaço amostral de pares ordenados
tem resultados igualmente prováveis. - A variável aleatória é
, onde é o resultado do primeiro dado e do segundo.
A partir disso vamos achar a função de probabilidade, a esperança e a variância .
Passo 2
Como os 36 pares
com
são igualmente prováveis, a probabilidade de um produto
é
Ou seja, primeiro contamos quantas vezes o produto
aparece nos 36 pares ordenados; depois dividimos por 36. Vou listar todos os produtos possíveis e quantas vezes aparecem (contagem dos pares ordenados).
Passo 3
Agora a enumeração dos produtos e suas contagens (obtidas listando todos os pares ordenados ou pensando nos divisores de cada produto dentro de
). A seguir apresento a probabilidade de cada valor que
pode assumir:
(Verificação rápida: somando todas as contagens obtemos
, então as probabilidades somam
.)
Passo 4
Agora calculamos a esperança
. Uma maneira elegante é usar a independência: se
e
são os resultados dos dois dados, então
e
porque
e
são independentes. Calculemos
:
Portanto
(Dica didática: ao ver produto de duas variáveis independentes, use
— isso economiza trabalho.)
Passo 5
Para a variância precisamos de
. Novamente, usando independência,
Calcule
:
logo
Assim
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da variância:
Substituindo os valores que encontramos:
Calcule
. Colocando numa denominação comum
:
Subtraindo,
Podemos também notar a fatoração
, mas a forma
é adequada.