Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos itens abaixo, determine a função de probabilidade, a esperança e a variância da variável aleatória X quando
X é a soma dos valores observados;

Passo 1

O enunciado: lançamos dois dados justos simultaneamente. A variável aleatória X é a soma dos valores observados nos dois dados. O que pedem:
  • Determinar a função de probabilidade (pmf) de X.
  • Calcular a esperança E[X].
  • Calcular a variância \operatorname{Var}(X).
Dados relevantes que temos a partir do enunciado:
  • Cada dado tem faces \{1,2,3,4,5,6\} e é justo (cada face tem mesma probabilidade).
  • Os dois lançamentos são independentes.
  • O espaço de resultados ordenados é formado por pares (i,j) com i,j\in\{1,\dots,6\} (total de 36 resultados igualmente prováveis).

Passo 2

Primeiro raciocínio prático: como são 36 resultados igualmente prováveis, a probabilidade de a soma X assumir um valor k é o número de pares (i,j) com i+j=k dividido por 36.
Vamos contar quantos pares dão cada soma k.
  • A soma mínima é 2 (quando (1,1)) e a máxima é 12 (quando (6,6)).
  • Para k=2 1 par: (1,1).
  • Para k=3 2 pares: (1,2),(2,1).
  • Para k=4 3 pares, e assim por diante até k=7 que tem 6 pares.
  • Depois de 7 começa a diminuir: k=8 tem 5 pares, até k=12 que tem 1 par.
Em resumo, o número de pares que somam k é:
n_k = \begin{cases} k-1, & k=2,3,4,5,6,7,\\[4pt] 13-k, & k=8,9,10,11,12. \end{cases}]

Passo 3

Agora montamos a função de probabilidade usando [P(X=k)=\dfrac{n_k}{36}).
Apresentando a pmf em forma peça-wise:
P(X=k)= \begin{cases} \dfrac{k-1}{36}, & k=2,3,4,5,6,7,\\[6pt] \dfrac{13-k}{36}, & k=8,9,10,11,12,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Comentário didático: essa distribuição é a clássica “distribuição triangular” das somas de dois dados. Note que as probabilidades são simétricas em torno de (7].]

Passo 4

Agora a esperança E[X]. Conceito breve: para uma variável discreta X com pmf P(X=k), a esperança é
E[X]=\sum_{k} k\,P(X=k),
ou, quando X é soma de variáveis independentes X=Y+Z,
E[X]=E[Y]+E[Z].
Aqui é mais prático usar a segunda propriedade (linearidade da esperança) com os dois dados D_1 e D_2:
E[D_1]=E[D_2]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}.
Portanto
E[X]=E[D_1+D_2]=E[D_1]+E[D_2]=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7.
Rápida verificação (opcional): se calcularmos diretamente \sum_k kP(X=k) usando os n_k obtemos o mesmo 7 — a simetria em torno de 7 também garante isso.

Passo 5

Agora a variância \operatorname{Var}(X). Conceito: para variável discreta,
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2.
Se X=Y+Z com Y e Z independentes, então
\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y)+\operatorname{Var}(Z).
Usamos essa propriedade: \operatorname{Var}(X)=2\operatorname{Var}(D), onde D é um dado justo.
Para um dado D calculamos \operatorname{Var}(D) via E[D^2]:
E[D^2]=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}.
Então
\operatorname{Var}(D)=E[D^2]-(E[D])^2=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2.
Calculando:
\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{49}{4}=\frac{147}{12},\qquad \frac{91}{6}=\frac{182}{12},
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\operatorname{Var}(D)=\frac{182}{12}-\frac{147}{12}=\frac{35}{12}.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=2\cdot\frac{35}{12}=\frac{35}{6}.
Em valores decimais isso é \operatorname{Var}(X)\approx 5,8333, mas a forma fracionária \dfrac{35}{6} é preferível.

Passo 6

Dicas rápidas para prova (amigável): memorizando que a soma de dois dados tem média 7 e variância \dfrac{35}{6} já resolve muita coisa. Se pedirem a pmf, lembre-se do padrão 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 dividido por 36. Vai dar certo — respira e resolve passo a passo como fizemos.

Resposta

P(X=k)= \begin{cases} \dfrac{k-1}{36}, & k=2,3,4,5,6,7,\\[6pt] \dfrac{13-k}{36}, & k=8,9,10,11,12,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário;} \end{cases}á
E[X]=7
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{35}{6}]

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