Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos itens abaixo, determine a função de probabilidade, a esperança e a variância da variável aleatória X quando X é a soma dos valores observados;
Passo 1
O enunciado: lançamos dois dados justos simultaneamente. A variável aleatória X é a soma dos valores observados nos dois dados. O que pedem:
Determinar a função de probabilidade (pmf) de X.
Calcular a esperança E[X].
Calcular a variância \operatorname{Var}(X).
Dados relevantes que temos a partir do enunciado:
Cada dado tem faces \{1,2,3,4,5,6\} e é justo (cada face tem mesma probabilidade).
Os dois lançamentos são independentes.
O espaço de resultados ordenados é formado por pares (i,j) com i,j\in\{1,\dots,6\} (total de 36 resultados igualmente prováveis).
Passo 2
Primeiro raciocínio prático: como são 36 resultados igualmente prováveis, a probabilidade de a soma X assumir um valor k é o número de pares (i,j) com i+j=k dividido por 36.
Vamos contar quantos pares dão cada soma k.
A soma mínima é 2 (quando (1,1)) e a máxima é 12 (quando (6,6)).
Para k=2 há 1 par: (1,1).
Para k=3 há 2 pares: (1,2),(2,1).
Para k=4 há 3 pares, e assim por diante até k=7 que tem 6 pares.
Depois de 7 começa a diminuir: k=8 tem 5 pares, até k=12 que tem 1 par.
Comentário didático: essa distribuição é a clássica “distribuição triangular” das somas de dois dados. Note que as probabilidades são simétricas em torno de (7].]
Passo 4
Agora a esperança E[X]. Conceito breve: para uma variável discreta X com pmf P(X=k), a esperança é
E[X]=\sum_{k} k\,P(X=k),
ou, quando X é soma de variáveis independentes X=Y+Z,
E[X]=E[Y]+E[Z].
Aqui é mais prático usar a segunda propriedade (linearidade da esperança) com os dois dados D_1 e D_2:
Rápida verificação (opcional): se calcularmos diretamente \sum_k kP(X=k) usando os n_k obtemos o mesmo 7 — a simetria em torno de 7 também garante isso.
Passo 5
Agora a variância \operatorname{Var}(X). Conceito: para variável discreta,
Em valores decimais isso é \operatorname{Var}(X)\approx 5,8333, mas a forma fracionária \dfrac{35}{6} é preferível.
Passo 6
Dicas rápidas para prova (amigável): memorizando que a soma de dois dados tem média 7 e variância \dfrac{35}{6} já resolve muita coisa. Se pedirem a pmf, lembre-se do padrão 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 dividido por 36. Vai dar certo — respira e resolve passo a passo como fizemos.