Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos itens abaixo, determine a função de probabilidade, a esperança e a variância da variável aleatória X quando
X é o maior resultado do lançamento dos dois dados;

Passo 1

O enunciado dá o lançamento simultâneo de dois dados (assumo dados justos, com faces 1,2,3,4,5,6) e define a variável aleatória X como o maior resultado obtido nos dois dados. As perguntas que precisamos responder são:
  1. Determinar a função de probabilidade (pmf) de X, ou seja P(X=k) para cada k\in\{1,2,3,4,5,6\}.
  2. Calcular a esperança \mathbb{E}[X].
  3. Calcular a variância \mathrm{Var}(X).
Informações relevantes dadas e suposições usadas:
  • Os dois dados são independentes e cada face tem probabilidade \tfrac{1}{6}.
  • A variável X só pode tomar valores em \{1,2,3,4,5,6\}.
    A partir daqui vamos construir a pmf e calcular esperança e variância passo a passo.

Passo 2

Estratégia para achar a pmf: é mais fácil trabalhar com probabilidades do tipo "o máximo é menor ou igual a k". Para qualquer k\in\{1,\dots,6\} temos:
P(X \le k)=P(\text{ambos os dados têm valor } \le k).ê
Como os dados são independentes, a probabilidade de um dado ser \le k é \dfrac{k}{6}. Portanto
P(X \le k)=\left(\dfrac{k}{6}\right)^2=\dfrac{k^2}{36}.
Isso é útil porque a probabilidade de X assumir exatamente o valor k é a diferença entre as probabilidades acumuladas:
P(X=k)=P(X\le k)-P(X\le k-1).

Passo 3

Aplicando a fórmula diferença para P(X=k):
P(X=k)=\dfrac{k^2}{36}-\dfrac{(k-1)^2}{36}=\dfrac{k^2-(k-1)^2}{36}=\dfrac{2k-1}{36}.
Portanto, a função de probabilidade é
P(X=k)=\dfrac{2k-1}{36},\qquad k=1,2,3,4,5,6.
Para conferir e ficar mais concreto, listando valores:
P(X=1)=\dfrac{1}{36},\; P(X=2)=\dfrac{3}{36},\; P(X=3)=\dfrac{5}{36},\; P(X=4)=\dfrac{7}{36},\; P(X=5)=\dfrac{9}{36},\; P(X=6)=\dfrac{11}{36}.
Verificação rápida: \sum_{k=1}^6(2k-1)=36, então as probabilidades somam 1.

Passo 4

Agora vamos calcular a esperança. Lembrando a definição:
\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^{6} k\,P(X=k).
Substituindo P(X=k)=\dfrac{2k-1}{36} obtemos
\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^{6} k\cdot\dfrac{2k-1}{36}=\dfrac{1}{36}\sum_{k=1}^{6}\bigl(2k^2-k\bigr) =\dfrac{1}{36}\Bigl(2\sum_{k=1}^{6}k^2-\sum_{k=1}^{6}k\Bigr).
Usamos as somas conhecidas:
\sum_{k=1}^{6}k=\;1+2+3+4+5+6=\;21,
\sum_{k=1}^{6}k^2=\;1^2+2^2+\dots+6^2=\;91.
Substituindo:
\mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{36}\bigl(2\cdot 91 - 21\bigr)=\dfrac{1}{36}\cdot 161=\dfrac{161}{36}.
Como referência numérica, \dfrac{161}{36}\approx 4{,}4722.

Passo 5

Para calcular a variância usamos a fórmula
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2.
Primeiro achamos \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2]=\sum_{k=1}^{6} k^2 P(X=k)=\sum_{k=1}^{6} k^2\cdot\dfrac{2k-1}{36} =\dfrac{1}{36}\sum_{k=1}^{6}\bigl(2k^3-k^2\bigr) =\dfrac{1}{36}\Bigl(2\sum_{k=1}^{6}k^3-\sum_{k=1}^{6}k^2\Bigr).
Usamos a soma dos cubos (nota: \sum_{k=1}^{n}k^3=\bigl(\sum_{k=1}^{n}k\bigr)^2):
\sum_{k=1}^{6}k^3=\bigl(\sum_{k=1}^{6}k\bigr)^2=21^2=441,
e já sabemos \sum_{k=1}^{6}k^2=91. Logo
\mathbb{E}[X^2]=\dfrac{1}{36}\bigl(2\cdot 441 - 91\bigr)=\dfrac{791}{36}.
Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{791}{36}-\left(\dfrac{161}{36}\right)^2.
Para calcular explicitamente colocamos com denominador comum 1296:
\dfrac{791}{36}=\dfrac{791\cdot 36}{1296}=\dfrac{28476}{1296}, \qquad \left(\dfrac{161}{36}\right)^2=\dfrac{25921}{1296}.
Subtraindo:
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{28476-25921}{1296}=\dfrac{2555}{1296}.
Como aproximação decimal, \dfrac{2555}{1296}\approx 1{,}9725.

Passo 6

Resumo final (valores exatos e aproximações para intuição):
  • Função de probabilidade: P(X=k)=\dfrac{2k-1}{36} para k=1,\dots,6 (valores listados no Passo 3).
  • Esperança: \mathbb{E}[X]=\dfrac{161}{36}\approx 4{,}4722.
  • Variância: \mathrm{Var}(X)=\dfrac{2555}{1296}\approx 1{,}9725.

Resposta

P(X=k)=\dfrac{2k-1}{36},\; k=1,2,3,4,5,6.
\mathbb{E}[X]=\dfrac{161}{36}.
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{2555}{1296}.

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