Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos itens abaixo, determine a função de probabilidade, a esperança e a variância da variável aleatória
quando
é o maior resultado do lançamento dos dois dados;
Passo 1
O enunciado dá o lançamento simultâneo de dois dados (assumo dados justos, com faces
) e define a variável aleatória
como o maior resultado obtido nos dois dados. As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar a função de probabilidade (pmf) de
, ou seja para cada . - Calcular a esperança
. - Calcular a variância
.
Informações relevantes dadas e suposições usadas:
- Os dois dados são independentes e cada face tem probabilidade
. - A variável
só pode tomar valores em .
A partir daqui vamos construir a pmf e calcular esperança e variância passo a passo.
Passo 2
Estratégia para achar a pmf: é mais fácil trabalhar com probabilidades do tipo "o máximo é menor ou igual a
". Para qualquer
temos:
Como os dados são independentes, a probabilidade de um dado ser
é
. Portanto
Isso é útil porque a probabilidade de
assumir exatamente o valor
é a diferença entre as probabilidades acumuladas:
Passo 3
Aplicando a fórmula diferença para
:
Portanto, a função de probabilidade é
Para conferir e ficar mais concreto, listando valores:
Verificação rápida:
, então as probabilidades somam
.
Passo 4
Agora vamos calcular a esperança. Lembrando a definição:
Substituindo
obtemos
Usamos as somas conhecidas:
Substituindo:
Como referência numérica,
.
Passo 5
Para calcular a variância usamos a fórmula
Primeiro achamos
:
Usamos a soma dos cubos (nota:
):
e já sabemos
. Logo
Agora a variância:
Para calcular explicitamente colocamos com denominador comum
:
Subtraindo:
Como aproximação decimal,
.
Passo 6
Resumo final (valores exatos e aproximações para intuição):
- Função de probabilidade:
para (valores listados no Passo 3). - Esperança:
. - Variância:
.