Considere o lançamento horizontal de um projétil de massa
do topo de um edifício de altura
com velocidade inicial
. Considerando o ponto de lançamento como a origem do sistema de coordenadas, determine:
O vetor momento angular do projétil.
O vetor momento angular do projétil.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: estamos analisando o lançamento horizontal de um projétil de massa $ m $ do topo de um edifício com altura $ h $, com uma velocidade inicial $ \overrightarrow{\mathbf{v}}{i} = v{0} \hat{\mathbf{i}}
\overrightarrow{\mathbf{L}} $) do projétil, considerando o ponto de lançamento como a origem do sistema de coordenadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento angular e como calculá-lo usando vetores de posição e momentum.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de momento angular. O momento angular ($ \overrightarrow{\mathbf{L}}
\overrightarrow{\mathbf{r}}
\overrightarrow{\mathbf{p}} $):
Onde:
- $ \overrightarrow{\mathbf{r}} $ é o vetor posição da partícula em relação à origem.
- $ \overrightarrow{\mathbf{p}} = m \overrightarrow{\mathbf{v}} $ é o momento linear da partícula, com $ \overrightarrow{\mathbf{v}} $ sendo a velocidade.
Passo 3
No instante do lançamento, consideramos o ponto de lançamento como a origem do sistema de coordenadas. Porém, o projétil está a uma altura $ h $ acima desse ponto. Assim, o vetor posição $ \overrightarrow{\mathbf{r}} $ do projétil é:
Aqui, $ \hat{\mathbf{j}} $ é o vetor unitário na direção vertical (supondo que estamos trabalhando em um sistema 2D com $ \hat{\mathbf{i}} $ horizontal e $ \hat{\mathbf{j}} $ vertical).
Passo 4
A velocidade inicial do projétil é horizontal e está dada por $ \overrightarrow{\mathbf{v}}{i} = v{0} \hat{\mathbf{i}} $. Portanto, o momento linear $ \overrightarrow{\mathbf{p}} $ do projétil é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento angular usando o produto vetorial:
Sabemos que o produto vetorial de $ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}} $, onde $ \hat{\mathbf{k}} $ é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por $ \hat{\mathbf{i}} $ e $ \hat{\mathbf{j}} $. Então:
Resposta
O vetor momento angular do projétil é: