Considere o lançamento horizontal de um projétil de massa m do topo de um edifício de altura h com velocidade inicial vi=v0 i. Considerando o ponto de lançamento como a origem do sistema de coordenadas, determine:
O vetor momento angular do projétil.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: estamos analisando o lançamento horizontal de um projétil de massa $ m $ do topo de um edifício com altura $ h $, com uma velocidade inicial $ \overrightarrow{\mathbf{v}}{i} = v{0} \hat{\mathbf{i}} m é \overrightarrow{\mathbf{L}} $) do projétil, considerando o ponto de lançamento como a origem do sistema de coordenadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento angular e como calculá-lo usando vetores de posição e momentum.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de momento angular. O momento angular ($ \overrightarrow{\mathbf{L}} L íçãéçã \overrightarrow{\mathbf{r}} r \overrightarrow{\mathbf{p}} $):
p
Onde:
  • $ \overrightarrow{\mathbf{r}} $ é o vetor posição da partícula em relação à origem.
  • $ \overrightarrow{\mathbf{p}} = m \overrightarrow{\mathbf{v}} $ é o momento linear da partícula, com $ \overrightarrow{\mathbf{v}} $ sendo a velocidade.

Passo 3

No instante do lançamento, consideramos o ponto de lançamento como a origem do sistema de coordenadas. Porém, o projétil está a uma altura $ h $ acima desse ponto. Assim, o vetor posição $ \overrightarrow{\mathbf{r}} $ do projétil é:
h
Aqui, $ \hat{\mathbf{j}} $ é o vetor unitário na direção vertical (supondo que estamos trabalhando em um sistema 2D com $ \hat{\mathbf{i}} $ horizontal e $ \hat{\mathbf{j}} $ vertical).

Passo 4

A velocidade inicial do projétil é horizontal e está dada por $ \overrightarrow{\mathbf{v}}{i} = v{0} \hat{\mathbf{i}} $. Portanto, o momento linear $ \overrightarrow{\mathbf{p}} $ do projétil é:
vi = v0 i

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento angular usando o produto vetorial:
L = r times p = h j times m v0 i
Sabemos que o produto vetorial de $ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}} $, onde $ \hat{\mathbf{k}} $ é o vetor unitário perpendicular ao plano formado por $ \hat{\mathbf{i}} $ e $ \hat{\mathbf{j}} $. Então:
j times i = -k

Resposta

O vetor momento angular do projétil é:
L = -m v0 h k

Exercícios relacionados