1- Considere o lançamento de um projétil com velocidade inicial V0 e fazendo um ângulo theta0 com a horizontal, onde a única aceleração é a aceleração de queda livre ( g na vertical). Considerando que o lançamento foi feito a partir da origem x e g encontre as expressões para a trajetória da partícula, ou seja, uma relação entre y e V0 que envolva apenas theta0, R e g, V0 e uma expressão para o alcance máximo ( theta0 ) que envolva também apenas 9,1 m e v=7,6 i+6,1 j. Agora considere que uma bola é lançada do solo para o ar. A uma altura de , a velocidade é em metros por segundo (i horizontal e j vertical). (a) Qual o ângulo de lançamento e a velocidade de lançamento? (b) Qual a altura máxima alcançada pela bola? © Qual será a distância horizontal alcançada pela bola? (d) Quanto tempo a bola permanece no ar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o lançamento de um projétil com uma velocidade inicial $ V_0 $ fazendo um ângulo $ \theta_0 $ com a horizontal. A gente precisa encontrar a equação da trajetória, que relaciona $ y $ com $ x $, e também a expressão para o alcance máximo $ R $. Vamos usar conceitos de cinemática para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. A componente horizontal é $ V_{0x} = V_0 \cos(\theta_0) $ e a componente vertical é $ V_{0y} = V_0 \sin(\theta_0) $.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações do movimento para as direções $ x $ e $ y $. Sem aceleração horizontal (já que só tem a gravidade na vertical), temos:
x

Passo 4

Para a direção vertical, a equação considerando a aceleração da gravidade $ g $ é:
g

Passo 5

Queremos relacionar $ y $ com $ x $. Da equação de $ x(t) $, podemos isolar $ t $:
y
Substituindo esse valor de $ t $ na equação de $ y(t) $:
x
Simplificando:
x(t)
Então, essa é a equação da trajetória.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o alcance máximo $ R $. O alcance ocorre quando $ y = 0 $. Usando a equação da trajetória:
R
Resolvendo para $ R $:
y = 0
Sabendo que $ \tan(\theta_0) = \frac{\sin(\theta_0)}{\cos(\theta_0)} $, simplificamos:
0 = R tan(theta0) - g R^22 V0^2 cos^2(theta0)
Usando a identidade trigonométrica $ \sin(2\theta_0) = 2 \sin(\theta_0) \cos(\theta_0) $:
R
E essa é a expressão do alcance máximo.

Resposta

A equação da trajetória do projétil é:
y = x tan(theta0) - g x^22 V0^2 cos^2(theta0)
E o alcance máximo $ R $ é dado por:
R

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