1- Considere o lançamento de um projétil com velocidade inicial
e fazendo um ângulo
com a horizontal, onde a única aceleração é a aceleração de queda livre ( g na vertical). Considerando que o lançamento foi feito a partir da origem
e
encontre as expressões para a trajetória da partícula, ou seja, uma relação entre y e
que envolva apenas
,
e
e uma expressão para o alcance máximo (
) que envolva também apenas
e
. Agora considere que uma bola é lançada do solo para o ar. A uma altura de
, a velocidade é
em metros por segundo (i horizontal e j vertical). (a) Qual o ângulo de lançamento e a velocidade de lançamento? (b) Qual a altura máxima alcançada pela bola? © Qual será a distância horizontal alcançada pela bola? (d) Quanto tempo a bola permanece no ar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o lançamento de um projétil com uma velocidade inicial $ V_0 $ fazendo um ângulo $ \theta_0 $ com a horizontal. A gente precisa encontrar a equação da trajetória, que relaciona $ y $ com $ x $, e também a expressão para o alcance máximo $ R $. Vamos usar conceitos de cinemática para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. A componente horizontal é $ V_{0x} = V_0 \cos(\theta_0) $ e a componente vertical é $ V_{0y} = V_0 \sin(\theta_0) $.
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações do movimento para as direções $ x $ e $ y $. Sem aceleração horizontal (já que só tem a gravidade na vertical), temos:
Passo 4
Para a direção vertical, a equação considerando a aceleração da gravidade $ g $ é:
Passo 5
Queremos relacionar $ y $ com $ x $. Da equação de $ x(t) $, podemos isolar $ t $:
Substituindo esse valor de $ t $ na equação de $ y(t) $:
Simplificando:
Então, essa é a equação da trajetória.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o alcance máximo $ R $. O alcance ocorre quando $ y = 0 $. Usando a equação da trajetória:
Resolvendo para $ R $:
Sabendo que $ \tan(\theta_0) = \frac{\sin(\theta_0)}{\cos(\theta_0)} $, simplificamos:
Usando a identidade trigonométrica $ \sin(2\theta_0) = 2 \sin(\theta_0) \cos(\theta_0) $:
E essa é a expressão do alcance máximo.
Resposta
A equação da trajetória do projétil é:
E o alcance máximo $ R $ é dado por: