Questão 2
Considere o campo vetorial
- (a) Calcule o divergente desse campo
.
(b) Expresse
em coordenadas cilíndricas.
- © Calcule a integral de linha do vetor
a percorrer o círculo unitário no plano
centrado na origem no sentido anti-horário
. Utilize coordenadas cilíndricas.
- (d) Calcule o rotacional desse campo em coordenadas cilíndricas
.
(e) Calcule a integral de superfície de
na região delimitada pelo círculo do item ©
.
(f) O que o teorema de Stokes afirma sobre as integrais dos itens © e (e)? Em outras palavras, os resultados obtidos nos itens © e (e) estão de acordo com o enunciado do teorema de Stokes? Explique sua resposta.
Considere o campo vetorial
(b) Expresse
(e) Calcule a integral de superfície de
(f) O que o teorema de Stokes afirma sobre as integrais dos itens © e (e)? Em outras palavras, os resultados obtidos nos itens © e (e) estão de acordo com o enunciado do teorema de Stokes? Explique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
e precisa resolver várias partes desse exercício. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, especificamente divergente, rotacional, coordenadas cilíndricas e o Teorema de Stokes. Vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o divergente, rotacional, mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, e entender como aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente desse campo vetorial
, ou seja,
. O divergente de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dado por:
Então, vamos achar as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Agora, somando as duas derivadas para encontrar o divergente:
Então, o divergente de
é zero.
Passo 5
Agora, vamos expressar o vetor
em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos
e
. Substituindo esses valores na expressão de
:
Em coordenadas cilíndricas,
e
. Substituindo:
Simplificando:
Portanto, em coordenadas cilíndricas,
.
Passo 6
Vamos calcular a integral de linha
ao longo do círculo unitário no plano
centrado na origem, no sentido anti-horário, usando coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas,
. Como o círculo é unitário,
, então:
Integrando de
a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o rotacional de
em coordenadas cilíndricas,
. Em coordenadas cilíndricas, o rotacional é dado por:
Para
, temos
,
, e
. Substituindo:
Portanto, o rotacional de
é zero.
Passo 8
Vamos calcular a integral de superfície
na região delimitada pelo círculo do item ©. Como
, a integral será:
Passo 9
Por último, vamos analisar o que o Teorema de Stokes diz sobre as integrais dos itens © e (e). O Teorema de Stokes afirma que:
Do item ©, temos
, e do item (e), temos
. Portanto, os resultados não estão de acordo com o Teorema de Stokes. Isso acontece porque o campo
não é bem definido no ponto
(origem), ou seja, o campo tem uma descontinuidade ali, o que faz com que o teorema não seja aplicado diretamente nesse caso.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f) Os resultados dos itens © e (e) não estão de acordo com o Teorema de Stokes porque o campo
não é bem definido na origem, tornando a aplicação direta do teorema inválida.