Questão 2
Considere o campo vetorial
A=-x yx^2+y^2+y xx^2+y^2
  • (a) Calcule o divergente desse campo nabla cdot A.
    (b) Expresse A em coordenadas cilíndricas.
  • © Calcule a integral de linha do vetor A a percorrer o círculo unitário no plano x y centrado na origem no sentido anti-horário ointC A cdot d lambda. Utilize coordenadas cilíndricas.
  • (d) Calcule o rotacional desse campo em coordenadas cilíndricas nabla times A.
    (e) Calcule a integral de superfície de nabla times A na região delimitada pelo círculo do item © integralS(nabla times A) cdot d sigma.
    (f) O que o teorema de Stokes afirma sobre as integrais dos itens © e (e)? Em outras palavras, os resultados obtidos nos itens © e (e) estão de acordo com o enunciado do teorema de Stokes? Explique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por A = -x yx^2+y^2 + y xx^2+y^2 e precisa resolver várias partes desse exercício. A matéria aqui é Cálculo Vetorial, especificamente divergente, rotacional, coordenadas cilíndricas e o Teorema de Stokes. Vamos precisar lembrar das fórmulas para calcular o divergente, rotacional, mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas, e entender como aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente desse campo vetorial A, ou seja, nabla cdot A. O divergente de um campo vetorial A = Ax x + Ay y em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y
Então, vamos achar as derivadas parciais de Ax e Ay em relação a x e y, respectivamente.

Passo 3

Calculando partial Axpartial x:
Ax = -yx^2+y^2 Rightarrow partial Axpartial x = -(0)(x^2+y^2) - y(2x)(x^2+y^2)^2 = 2xy(x^2+y^2)^2
Agora, calculando partial Aypartial y:
Ay = xx^2+y^2 Rightarrow partial Aypartial y = 0(x^2+y^2) - x(2y)(x^2+y^2)^2 = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora, somando as duas derivadas para encontrar o divergente:
nabla cdot A = 2xy(x^2+y^2)^2 - 2xy(x^2+y^2)^2 = 0
Então, o divergente de A é zero.

Passo 5

Agora, vamos expressar o vetor A em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos x = rcostheta e y = rsintheta. Substituindo esses valores na expressão de A:
A = -x yx^2+y^2 + y xx^2+y^2 = -x rsinthetar^2 + y rcosthetar^2 = -sinthetar x + costhetar y
Em coordenadas cilíndricas, x = costheta r - sintheta theta e y = sintheta r + costheta theta. Substituindo:
A = -sinthetar (costheta r - sintheta theta) + costhetar (sintheta r + costheta theta)
Simplificando:
A = -sintheta costhetar r + sin^2thetar theta + costheta sinthetar r + cos^2thetar theta = sin^2theta + cos^2thetar theta = 1r theta
Portanto, em coordenadas cilíndricas, A = 1r theta.

Passo 6

Vamos calcular a integral de linha ointC A cdot d lambda ao longo do círculo unitário no plano xy centrado na origem, no sentido anti-horário, usando coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas, d lambda = r dtheta theta. Como o círculo é unitário, r = 1, então:
A cdot d lambda = 1r theta cdot (r dtheta theta) = 11 cdot 1 cdot dtheta = dtheta
Integrando de theta = 0 a theta = 2pi:
ointC A cdot d lambda = integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 7

Agora, vamos calcular o rotacional de A em coordenadas cilíndricas, nabla times A. Em coordenadas cilíndricas, o rotacional é dado por:
nabla times A = 1r ( partial (Az)partial theta - partial (Atheta)partial z ) r + ( partial (Ar)partial z - partial (Az)partial r ) theta + 1r ( partial (r Atheta)partial r - partial (Ar)partial theta ) z
Para A = 1r theta, temos Ar = 0, Atheta = 1r, e Az = 0. Substituindo:
nabla times A = 1r ( 0 - 0 ) r + ( 0 - 0 ) theta + 1r ( partial (1)partial r - 0 ) z = 1r cdot 0 z = 0
Portanto, o rotacional de A é zero.

Passo 8

Vamos calcular a integral de superfície integralS(nabla times A) cdot d sigma na região delimitada pelo círculo do item ©. Como nabla times A = 0, a integral será:
integralS 0 cdot d sigma = 0

Passo 9

Por último, vamos analisar o que o Teorema de Stokes diz sobre as integrais dos itens © e (e). O Teorema de Stokes afirma que:
ointC A cdot d lambda = integralS (nabla times A) cdot d sigma
Do item ©, temos 2pi, e do item (e), temos 0. Portanto, os resultados não estão de acordo com o Teorema de Stokes. Isso acontece porque o campo A não é bem definido no ponto r = 0 (origem), ou seja, o campo tem uma descontinuidade ali, o que faz com que o teorema não seja aplicado diretamente nesse caso.

Resposta

a) nabla cdot A = 0
b) A = dfrac1r theta
c) ointC A cdot d lambda = 2pi
d) nabla times A = 0
e) integralS (nabla times A) cdot d sigma = 0
f) Os resultados dos itens © e (e) não estão de acordo com o Teorema de Stokes porque o campo A não é bem definido na origem, tornando a aplicação direta do teorema inválida.

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