Considere o lançamento sucessivo e independente de uma moeda equilibrada. Defina An como o seguinte evento: o lançamento n inicia uma série de exatamente 3 caras, isto é, nem mais nem menos do que 3 caras. Usando o Lema de Borel-Cantelli, determine a probabilidade da ocorrência de um número infinito dos An 's.

Passo 1

O enunciado fala de lançamentos independentes de uma moeda justa e define, para cada n>=1, o evento An = “no lançamento n inicia uma série de exatamente 3 caras”. Queremos
Pl(An ior)
isto é, a probabilidade de ocorrer infinitamente muitos An. Vamos usar o Lema (ou Segundo Lema) de Borel-Cantelli, para o qual precisamos calcular P(An) e verificar se sumnP(An) diverge, além de garantir alguma independência.

Passo 2

Para n>=2, o evento An exige que
1. Xn-1=cara não faça parte da sérieãçé, ou seja Xn-1=coroa,
2. Xn=Xn+1=Xn+2=cara,
3. Xn+3=coroa,
tudo isso em lançamentos independentes de probabilidade 1/2 cada. Logo
P(An) = l(tfrac12r)^5 = tfrac132
Para n=1 não há X0, mas em qualquer caso basta notar que a constante tfrac132 vale a partir de n=2, e isso já garante a soma infinita.

Passo 3

Como para todo n>=2 vale P(An)=tfrac132, temos
sumn=1^infty P(An) ;>=;sumn=2^inftytfrac132 ;=;infty

Passo 4

Os eventos An não são mutuamente independentes, mas note que, se tomarmos n e m tais que |n-m|>=4, então os conjuntos de lançamentos envolvidos em An e Am são disjuntos, logo esses pares são independentes.
Em particular, para cada classe de restos iin1,2,3,4 considere a subsequência A,i+4kk>=0. Essa subsequência é formada por eventos independentes e
sumk=0^inftyPl(Ai+4kr) =sumk=0^inftytfrac132 =infty
Pelo Segundo Lema de Borel-Cantelli aplicado a cada subsequência, cada classe i produz infinitamente muitos An quase certo. Logo no total
Pl(An ior)=1

Resposta

A probabilidade de ocorrer um número infinito dos An é igual a 1.

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