Considere o lançamento sucessivo e independente de uma moeda equilibrada. Defina
como o seguinte evento: o lançamento
inicia uma série de exatamente 3 caras, isto é, nem mais nem menos do que 3 caras. Usando o Lema de Borel-Cantelli, determine a probabilidade da ocorrência de um número infinito dos
's.
Passo 1
O enunciado fala de lançamentos independentes de uma moeda justa e define, para cada
, o evento
“no lançamento
inicia uma série de exatamente
caras”. Queremos
isto é, a probabilidade de ocorrer infinitamente muitos
. Vamos usar o Lema (ou Segundo Lema) de Borel-Cantelli, para o qual precisamos calcular
e verificar se
diverge, além de garantir alguma independência.
Passo 2
Para
, o evento
exige que
.
, ou seja
,
.
,
.
,
tudo isso em lançamentos independentes de probabilidade cada. Logo
tudo isso em lançamentos independentes de probabilidade
Para
não há
, mas em qualquer caso basta notar que a constante
vale a partir de
, e isso já garante a soma infinita.
Passo 3
Como para todo
vale
, temos
Passo 4
Os eventos
não são mutuamente independentes, mas note que, se tomarmos
e
tais que
, então os conjuntos de lançamentos envolvidos em
e
são disjuntos, logo esses pares são independentes.
Em particular, para cada classe de restos considere a subsequência
. Essa subsequência é formada por eventos independentes e
Em particular, para cada classe de restos
Pelo Segundo Lema de Borel-Cantelli aplicado a cada subsequência, cada classe
produz infinitamente muitos
quase certo. Logo no total
Resposta
A probabilidade de ocorrer um número infinito dos
é igual a
.