Considere o Laplaciano em coordenadas polares dado por
a) Mostre que, usando o método de separação de variável, as soluções da forma
devem satisfazer
em que
é um número complexo qualquer.
b) Consideremos a seguinte equação:
Mostre que
e
são solução da equação acima se
e
são raízes do polinômio
No caso em que
, mostre que
também é solução da equação acima.
c) Usando os resultados acima e impondo que a solução seja contínua na origem, vimos em sala de aula que a solução geral num círculo do problema
é dada por
Ache a solução geral no caso em que
. (Use os seus conhecimentos sobre série de Fourier para determinar
)
b) Consideremos a seguinte equação:
c) Usando os resultados acima e impondo que a solução seja contínua na origem, vimos em sala de aula que a solução geral num círculo do problema
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas polares
por separação de variáveis, depois tratar uma equação de Euler (parte b) e, por fim, impor a condição de contorno num disco de raio 1 (parte c). Vamos usar:
– Método de separação .
– Análise da equação de Euler .
– Séries de Fourier complexas em .
– Método de separação
– Análise da equação de Euler
– Séries de Fourier complexas em
Passo 2
Substituindo
em
temos
Dividindo por
e multiplicando por
fica
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, logo ambos devem ser iguais a uma constante, digamos
. Assim obtemos os dois ODEs:
Passo 3
Considere agora a equação de Euler genérica
Testamos
. Então
e substituindo obtemos
Para
isso força
Se
e
são raízes desse polinômio, então
e
são soluções independentes.
Passo 4
No caso de raiz dupla
, a segunda solução independente é dada pelo método de redução de ordem, resultando em
De fato, um cálculo direto mostra que essa função satisfaz a mesma equação de Euler quando a raiz é dupla.
Passo 5
Para o problema de Dirichlet em disco unitário
com condição
, vimos em aula que a solução contínua na origem é
onde os coeficientes
vêm da expansão de Fourier complexa de
:
Passo 6
Aqui
. Usando
temos
Comparando com
obtemos
e todos os outros
.
Passo 7
Substituindo em
fica só os três termos não nulos:
Reconhecendo a parte imaginária, isso é