Considere o Laplaciano em coordenadas polares dado por
De<a u(r, theta)=partial^2 upartial r^2(r, theta)+1r partial upartial r(r, theta)+1r^2 partial^2 upartial theta^2(r, theta)=0
a) Mostre que, usando o método de separação de variável, as soluções da forma u(r, theta)=R(r) Theta(theta) devem satisfazer
r^2 R^prime prime(r)+r R^prime(r)-nu^2 R(r)=0 Theta^prime prime(theta)+nu^2 Theta(theta)=0
em que nu^2 é um número complexo qualquer.
b) Consideremos a seguinte equação:
r^2 f^prime prime(r)+a r f^prime(r)+b f(r)=0
Mostre que r^lambda1 e r^lambda2 são solução da equação acima se lambda1 e lambda2 são raízes do polinômio
lambda(lambda-1)+a lambda+b=0
No caso em que lambda1=lambda2, mostre que r^lambda1 ln (r) também é solução da equação acima.
c) Usando os resultados acima e impondo que a solução seja contínua na origem, vimos em sala de aula que a solução geral num círculo do problema
l De<a u=0, em Omega u=f, em partial Omega
é dada por
u(r, theta)=sumn=-infty^infty cn r^|n| e^i n theta, com u(1, theta)=sumn=-infty^infty cn e^i n theta=f(theta)
Ache a solução geral no caso em que f(theta)=1+2 sen(theta)=1+i e^-i theta-i e^i theta. (Use os seus conhecimentos sobre série de Fourier para determinar cn )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas polares
De<a u(r,theta)=partial^2upartial r^2+1rpartial upartial r+1r^2partial^2upartial theta^2=0
por separação de variáveis, depois tratar uma equação de Euler (parte b) e, por fim, impor a condição de contorno num disco de raio 1 (parte c). Vamos usar:
– Método de separação u(r,theta)=R(r),Theta(theta).
– Análise da equação de Euler r^2f''+ar f'+b f=0.
– Séries de Fourier complexas em theta.

Passo 2

Substituindo u(r,theta)=R(r),Theta(theta) em De<a u=0 temos
R''(r),Theta(theta)+1rR'(r),Theta(theta)+1r^2R(r),Theta''(theta)=0
Dividindo por R(r),Theta(theta) e multiplicando por r^2 fica
r^2R''(r)R(r)+rR'(r)R(r)+Theta''(theta)Theta(theta)=0 Longrightarrow r^2R''R+rR'R=-Theta''Theta
O lado esquerdo depende só de r e o direito só de theta, logo ambos devem ser iguais a uma constante, digamos nu^2. Assim obtemos os dois ODEs:
r^2R''(r)+rR'(r)-nu^2R(r)=0, Theta''(theta)+nu^2,Theta(theta)=0

Passo 3

Considere agora a equação de Euler genérica
r^2f''(r)+a,r,f'(r)+b,f(r)=0
Testamos f(r)=r^lambda. Então
f'(r)=lambda,r^lambda-1, f''(r)=lambda(lambda-1),r^lambda-2,
e substituindo obtemos
r^2lambda(lambda-1)r^lambda-2+a,r,lambda r^lambda-1+b,r^lambda =l[lambda(lambda-1)+alambda+br]r^lambda=0
Para r>0 isso força
lambda(lambda-1)+alambda+b=0
Se lambda1 e lambda2 são raízes desse polinômio, então r^lambda1 e r^lambda2 são soluções independentes.

Passo 4

No caso de raiz dupla lambda1=lambda2=lambda, a segunda solução independente é dada pelo método de redução de ordem, resultando em
f2(r)=r^lambdaln(r)
De fato, um cálculo direto mostra que essa função satisfaz a mesma equação de Euler quando a raiz é dupla.

Passo 5

Para o problema de Dirichlet em disco unitário r<1 com condição u(1,theta)=f(theta), vimos em aula que a solução contínua na origem é
u(r,theta)=sumn=-infty^inftycn,r^|n|e^i ntheta,
onde os coeficientes cn vêm da expansão de Fourier complexa de f(theta):
f(theta)=sumn=-infty^inftycne^i ntheta

Passo 6

Aqui f(theta)=1+2sin(theta). Usando
sin(theta)=e^itheta-e^-itheta2i
temos
f(theta)=1+2sin(theta) =1+e^itheta-e^-ithetai =1 - i,e^itheta+i,e^-itheta
Comparando com sum cne^intheta obtemos
c0=1, c1=-i, c-1=i,
e todos os outros cn=0.

Passo 7

Substituindo em
u(r,theta)=sumn=-infty^inftycn,r^|n|e^i ntheta
fica só os três termos não nulos:
u(r,theta) = c0,r^0e^0+c1,r^1e^itheta+c-1,r^1e^-itheta =1 - i,r,e^itheta+i,r,e^-itheta
Reconhecendo a parte imaginária, isso é
u(r,theta) =1+2,rsin(theta)

Resposta

u(r,theta)=1+2,rsin(theta)

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