Considere X1, X2, ldots, Xn uma amostra aleatoria da distribuição Bernoulli(p). Então temos E(Xi)=p e Var(Xi)=p(1-p). Defina Y=sumi=1^n Xi.
Seja n=100 e p=0,5. Utilize o Teorema Central do Limite para calcular uma aproximação para a seguinte probabilidade P(47,5.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma amostra P(47,5 < Y < 52,5) i.i.d. com distribuição . Definimos . Queremos aproximar
usando o Teorema Central do Limite (CLT).
Conteúdo envolvido:
  • Esperança e variância de Bernoulli
  • Teorema Central do Limite
  • Correção de continuidade
  • Transformação para a normal padrão

Passo 2

Calcular média e desvio padrão de E(Xi)=p=0,5, Var(Xi)=p(1-p)=0,5cdot0,5=0,25 .
Para cada E(Y)=100cdot0,5=50, Var(Y)=100cdot0,25=25, vale
Como sigmaY=raiz25=5 e as são independentes,
logo o desvio padrão é

Passo 3

Aplicar o CLT com correção de continuidade.
O CLT diz que para Yapprox Nl(E(Y),,Var(Y)r)=N(50,,25) grande
Como Z=Y - 505sim N(0,1) é discreto, usamos 47,5 e 52,5 como limites de correção. Transformamos P(47,5 em padrão:
Então

Passo 4

Usar a tabela da normal padrão:
P(-0,5
Na prática .

Resposta

P(47,5

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