Uma v.a X assume os valores -1,0 e 1 com igual probabilidade. Para uma amostra de tamanho 2, obtenha a distribuição de probabilidade de barX.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma variável aleatória bar X = X1 + X22 que só pode ser , ou , cada um com probabilidade . A gente pega uma amostra de tamanho 2, ou seja, dois valores independentes e com essa mesma distribuição, e quer saber a distribuição de probabilidade da média amostral
O conteúdo aqui é: como achar a lei de uma função de variáveis aleatórias discretas. Vamos precisar enumerar todos os pares , calcular em cada caso e juntar as probabilidades iguais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o espaço amostral de P(X1=x, X2=y) = 13times13 = 19 . Como cada (-1,-1),,(-1,0),,(-1,1),;(0,-1),,(0,0),,(0,1),;(1,-1),,(1,0),,(1,1) pode ser , temos 3×3 = 9 pares possíveis, cada um com probabilidade
Os pares são

Passo 3

Agora calculamos a média para cada par:
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Passo 4

Agrupamos as probabilidades iguais, lembrando que cada par vale :
  • só rola em : P = .
  • em e : 2 casos ⇒ P = .
  • em : 3 casos ⇒ P = .
  • em : 2 casos ⇒ P = .
  • só em : P = .

Resposta

A distribuição de probabilidade de P(bar X = -1) &= tfrac19, P(bar X = -0.5) &= tfrac29, P(bar X = 0) &= tfrac39 = tfrac13, P(bar X = 0.5) &= tfrac29, P(bar X = 1) &= tfrac19 é

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