Considere X1, X2, ldots, Xn uma amostra aleatoria da distribuição Bernoulli(p). Então temos E(Xi)=p e Var(Xi)=p(1-p). Defina Y=sumi=1^n Xi.
Qual é a distribuição de Y?

Passo 1

Então, olha só o que o enunciado diz: temos Y = sumi=1^n Xi i.i.d. (independentes e igualmente distribuídas) segundo uma Bernoulli de parâmetro . Cada vale 1 com probabilidade e 0 com probabilidade . Definimos
O conteúdo aqui é Teoria da Probabilidade, mais precisamente soma de variáveis Bernoulli. Para resolver, precisamos entender que somar várias Bernoulli equivale a contar o número de “sucessos” em tentativas, e daí surge a distribuição Binomial.

Passo 2

Vamos pensar: cada p^k (1-p)^,n-k, pode dar sucesso (1) ou fracasso (0). A soma binomnk conta quantos “1” ocorreram em P(Y=k)=binomnk,p^k(1-p)^,n-k, k=0,1,2,dots,n experimentos. Se a gente quer exatamente sucessos, temos duas ideias principais:
  1. Qual é a probabilidade de uma sequência fixa com uns e zeros?
    Isso é
    porque cada sucesso “custa” um fator e cada fracasso “custa” um fator .
  2. Quantas sequências diferentes têm exatamente sucessos?
    Aí usamos combinatória: das posições, escolhemos para ser sucesso. São
    jeitos de distribuir esses uns.
Multiplicando o número de jeitos pela probabilidade de cada jeito, obtemos a função massa de probabilidade de :

Passo 3

O modelo de probabilidade que tem exatamente essa fórmula é a Distribuição Binomial com parâmetros E(Y)=np, Var(Y)=np(1-p) e . Além disso, a gente sabe que, para :

Resposta

A distribuição de Ysim Binomial(n,p), é a Binomial de parâmetros P(Y=k)=binomnk,p^k(1-p)^n-k, E(Y)=np, Var(Y)=np(1-p) e :
com

Exercícios relacionados