Considere
uma amostra aleatoria da distribuição
. Então temos
e
. Defina
.
Qual é a distribuição de
?
Qual é a distribuição de
Passo 1
Então, olha só o que o enunciado diz: temos
i.i.d. (independentes e igualmente distribuídas) segundo uma Bernoulli de parâmetro
. Cada
vale 1 com probabilidade
e 0 com probabilidade
. Definimos
O conteúdo aqui é Teoria da Probabilidade, mais precisamente soma de variáveis Bernoulli. Para resolver, precisamos entender que somar várias Bernoulli equivale a contar o número de “sucessos” em
tentativas, e daí surge a distribuição Binomial.
Passo 2
Vamos pensar: cada
pode dar sucesso (1) ou fracasso (0). A soma
conta quantos “1” ocorreram em
experimentos. Se a gente quer exatamente
sucessos, temos duas ideias principais:
-
Qual é a probabilidade de uma sequência fixa com
uns e zeros?
Isso éporque cada sucesso “custa” um fatore cada fracasso “custa” um fator . -
Quantas sequências diferentes têm exatamente
sucessos?
Aí usamos combinatória: dasposições, escolhemos para ser sucesso. São jeitos de distribuir essesuns.
Multiplicando o número de jeitos pela probabilidade de cada jeito, obtemos a função massa de probabilidade de
:
Passo 3
O modelo de probabilidade que tem exatamente essa fórmula é a Distribuição Binomial com parâmetros
e
. Além disso, a gente sabe que, para
:
Resposta
A distribuição de
é a Binomial de parâmetros
e
:
com