Considere
a) Verifique que
é subespaço.
b) Forneça um vetor não nulo de
.
c) Determine se
.
b) Forneça um vetor não nulo de
c) Determine se
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
definido por
As perguntas são:
a) Verificar se é subespaço de
.
b) Fornecer um vetor não nulo que pertença a .
c) Determinar se pertence a
.
a) Verificar se
b) Fornecer um vetor não nulo que pertença a
c) Determinar se
Dados relevantes: a equação linear
que qualquer vetor
de
deve satisfazer.
Passo 2
O que significa ser subespaço (vou explicar passo a passo, como se fosse uma lista de checagem que você usa na prova). Um subconjunto
é subespaço se satisfaz três propriedades:
-
não é vazio e contém o vetor nulo . - Se
e , então (fechamento por soma). - Se
e , então (fechamento por multiplicação escalar).
Vou verificar cada uma dessas propriedades para o
dado. Dica prática: quando
é definido por uma equação homogênea (igual a zero), normalmente ele é subespaço — mas a prova formal é justamente verificar as três propriedades acima.
Passo 3
Verificar que o vetor nulo pertence a
. Calculo direto:
Como a equação é satisfeita por
, temos
. Portanto
não é vazio e passa na primeira verificação.
Passo 4
Verificar fechamento por soma. Seja
Como
e
, temos as igualdades
Considere
. Avaliando a expressão que define
para
:
Cada parêntese é zero pelas hipóteses, então a soma é zero. Logo
. Isso prova a propriedade de fechamento por soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar. Seja
com
, e seja
. Considere
. Avaliando:
Como
, o produto
. Assim
. Portanto
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Como as três propriedades (contém o vetor nulo, fechamento por soma e fechamento por multiplicação escalar) foram verificadas, concluímos (com justificativa completa) que
é subespaço de
.
Passo 7
Agora vou dar um vetor não nulo em
. Escolho uma escolha simples para
e
e resolvo
. Por exemplo, tome
e
. Substituindo em
:
Portanto
satisfaz a equação e é um vetor não nulo pertencente a
.
Passo 8
Determinar se
. Substituo
na equação definidora:
Como o resultado é
, a condição
não é satisfeita. Logo
.
Passo 9
Comentário extra (útil na prova): podemos também parametrizar
para entender sua estrutura. Escolhendo parâmetros
e
, isolamos
. Assim
mostrando que
é um plano (subespaço de dimensão
) gerado pelos vetores
e
. Isso não era pedido, mas ajuda a visualizar e a encontrar vetores em
.
Resposta
a)
é subespaço de
.\n
b) .\n
c) .
b)
c)