Considere
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x+y-3 z=0\right\} .
a) Verifique que W é subespaço.
b) Forneça um vetor não nulo de W.
c) Determine se (1,2,3) \in W.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto W de \mathbb{R}^3 definido por
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 2x+y-3z=0\right\}.
As perguntas são:
a) Verificar se W é subespaço de \mathbb{R}^3.
b) Fornecer um vetor não nulo que pertença a W.
c) Determinar se (1,2,3) pertence a W.
Dados relevantes: a equação linear 2x+y-3z=0 que qualquer vetor (x,y,z) de W deve satisfazer.

Passo 2

O que significa ser subespaço (vou explicar passo a passo, como se fosse uma lista de checagem que você usa na prova). Um subconjunto W\subset\mathbb{R}^3 é subespaço se satisfaz três propriedades:
  1. W não é vazio e contém o vetor nulo (0,0,0).
  2. Se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W (fechamento por soma).
  3. Se \mathbf{u}\in W e c\in\mathbb{R}, então c\mathbf{u}\in W (fechamento por multiplicação escalar).
Vou verificar cada uma dessas propriedades para o W dado. Dica prática: quando W é definido por uma equação homogênea (igual a zero), normalmente ele é subespaço — mas a prova formal é justamente verificar as três propriedades acima.

Passo 3

Verificar que o vetor nulo pertence a W. Calculo direto:
2\cdot 0 + 0 - 3\cdot 0 = 0.
Como a equação é satisfeita por (0,0,0), temos (0,0,0)\in W. Portanto W não é vazio e passa na primeira verificação.

Passo 4

Verificar fechamento por soma. Seja
\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W \quad\text{e}\quad \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W.
Como \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, temos as igualdades
2x_1+y_1-3z_1=0\quad\text{e}\quad 2x_2+y_2-3z_2=0.
Considere \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Avaliando a expressão que define W para \mathbf{u}+\mathbf{v}:
2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2) = (2x_1+y_1-3z_1) + (2x_2+y_2-3z_2).
Cada parêntese é zero pelas hipóteses, então a soma é zero. Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W. Isso prova a propriedade de fechamento por soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar. Seja \mathbf{u}=(x,y,z)\in W com 2x+y-3z=0, e seja c\in\mathbb{R}. Considere c\mathbf{u}=(cx,cy,cz). Avaliando:
2(cx)+ (cy) - 3(cz) = c(2x+y-3z).
Como 2x+y-3z=0, o produto c(2x+y-3z)=c\cdot 0 = 0. Assim c\mathbf{u}\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Como as três propriedades (contém o vetor nulo, fechamento por soma e fechamento por multiplicação escalar) foram verificadas, concluímos (com justificativa completa) que W é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 7

Agora vou dar um vetor não nulo em W. Escolho uma escolha simples para x e y e resolvo z. Por exemplo, tome x=1 e y=1. Substituindo em 2x+y-3z=0:
2\cdot 1 + 1 - 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3 - 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 1.
Portanto (1,1,1) satisfaz a equação e é um vetor não nulo pertencente a W.

Passo 8

Determinar se (1,2,3)\in W. Substituo (x,y,z)=(1,2,3) na equação definidora:
2\cdot 1 + 2 - 3\cdot 3 = 2 + 2 - 9 = -5.
Como o resultado é -5\neq 0, a condição 2x+y-3z=0 não é satisfeita. Logo (1,2,3)\notin W.

Passo 9

Comentário extra (útil na prova): podemos também parametrizar W para entender sua estrutura. Escolhendo parâmetros s=x e t=z, isolamos y=3z-2x. Assim
(x,y,z) = (s,\;3t-2s,\;t) = s(1,-2,0) + t(0,3,1),
mostrando que W é um plano (subespaço de dimensão 2) gerado pelos vetores (1,-2,0) e (0,3,1). Isso não era pedido, mas ajuda a visualizar e a encontrar vetores em W.

Resposta

a) W é subespaço de \mathbb{R}^3.\n
b) (1,1,1).\n
c) (1,2,3)\notin W.

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