Considere
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \end{array}\right)
(a) Calcule A^{T} A.
(b) Determine seus autovalores.
(c) A^{T} A é singular? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] 3 & 4\\[4pt] 5 & 6 \end{pmatrix},
e pede três coisas:
  • (a) Calcular A^{T}A.
  • (b) Determinar os autovalores (valores próprios) de A^{T}A.
  • (c) Dizer se A^{T}A é singular e justificar (ou seja, verificar se é invertível ou não).
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz de ordem 3\times2.
  • A^{T} terá ordem 2\times3, então A^{T}A será 2\times2.]

Passo 2

Lembrando a definição de transposta: a transposta A^{T} é obtida trocando linhas por colunas. Assim
A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}.
Para multiplicar duas matrizes, o elemento na posição (i,j) do produto é o produto escalar da linha i da primeira pela coluna j da segunda. Aqui queremos A^{T}A (produto 2\times3 por 3\times2), que resulta numa matriz 2\times2. Vou calcular cada entrada:
  • Entrada (1,1): produto escalar da primeira linha de A^{T} com a primeira coluna de A:
(1,1)=1\cdot1+3\cdot3+5\cdot5=1+9+25=35.
  • Entrada (1,2): produto escalar da primeira linha de A^{T} com a segunda coluna de A:
(1,2)=1\cdot2+3\cdot4+5\cdot6=2+12+30=44.
  • Entrada (2,1): produto escalar da segunda linha de A^{T} com a primeira coluna de A (deve ser igual a (1,2) porque veremos que a matriz é simétrica):
(2,1)=2\cdot1+4\cdot3+6\cdot5=2+12+30=44.
  • Entrada (2,2): produto escalar da segunda linha de A^{T} com a segunda coluna de A:
(2,2)=2\cdot2+4\cdot4+6\cdot6=4+16+36=56.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix} 35 & 44\\[4pt] 44 & 56 \end{pmatrix}.
Observação rápida (útil para a prova): para qualquer matriz A a matriz A^{T}A é sempre simétrica, porque (A^{T}A)^{T}=A^{T}(A^{T})^{T}=A^{T}A.]

Passo 3

Agora vamos determinar os autovalores de A^{T}A. Por definição, os autovalores \lambda satisfazem a equação característica
\det\!\big(A^{T}A-\lambda I\big)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Escrevendo isso explicitamente:
A^{T}A-\lambda I= \begin{pmatrix} 35-\lambda & 44\\[4pt] 44 & 56-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\!\big(A^{T}A-\lambda I\big)=(35-\lambda)(56-\lambda)-44^{2}.
Vou expandir passo a passo:
(35-\lambda)(56-\lambda)=35\cdot56-(35+56)\lambda+\lambda^{2}.
Calculo 35\cdot56:
35\cdot56=35\cdot(50+6)=1750+210=1960.
E 44^{2}=1936. Então
\det\!\big(A^{T}A-\lambda I\big)=1960-(35+56)\lambda+\lambda^{2}-1936.
Simplificando constantes:
1960-1936=24,
e 35+56=91. Assim obtemos o polinômio característico
\lambda^{2}-91\lambda+24=0.
Agora aplico a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para achar as raízes:
\lambda=\frac{91\pm\sqrt{91^{2}-4\cdot1\cdot24}}{2}.
Calculo o discriminante:
91^{2}=8281,\qquad 4\cdot24=96,\qquad 8281-96=8185.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1,2}=\frac{91\pm\sqrt{8185}}{2}.
Para ter uma ideia numérica rápida (útil na prova para verificar plausibilidade),
\sqrt{8185}\approx90,472\quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}\approx\frac{91+90{,}472}{2}\approx90{,}736, \quad \lambda_{2}\approx\frac{91-90{,}472}{2}\approx0{,}264.
Comentário didático: por ser produto do tipo A^{T}A, essa matriz é positiva semidefinida, então todos os autovalores são reais e não negativos. Aqui encontramos dois autovalores positivos (um grande e um pequeno positivo).]

Passo 4

Responder se A^{T}A é singular. Uma matriz é singular se e somente se seu determinante for zero, ou, equivalentemente, se zero for autovalor. Podemos usar qualquer uma das abordagens:
  • Pela forma já calculada, o determinante de A^{T}A é o termo constante do polinômio característico (para 2\times2, \det(A^{T}A)=\lambda_{1}\lambda_{2}). Calculamos anteriormente que a constante do polinômio foi 24, logo
\det(A^{T}A)=24\neq0.
Portanto A^{T}A não é singular.
  • Outra justificativa (intuitiva e útil para a prova): A tem duas colunas que não são múltiplas uma da outra (por exemplo, a razão entre componentes das colunas não é constante: 2/1\ne4/3), logo as duas colunas são linearmente independentes e \operatorname{rank}(A)=2. Para uma matriz A de tamanho 3\times2, isso implica \operatorname{rank}(A)=2, e então \operatorname{rank}(A^{T}A)=2. Como A^{T}A é 2\times2 e tem posto 2, é invertível e, portanto, não singular.
Resumo da justificativa: determinante 24\neq0 ou, equivalentemente, nenhum autovalor é zero, portanto A^{T}A é invertível (não singular).

Resposta

(a) A^{T}A=\begin{pmatrix}35 & 44\\[4pt]44 & 56\end{pmatrix}
(b) \lambda_{1,2}=\frac{91\pm\sqrt{8185}}{2}\approx 90{,}736\quad\text{e}\quad0{,}264
(c) Não; A^{T}A não é singular, pois \det(A^{T}A)=24\neq0.]

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