Para multiplicar duas matrizes, o elemento na posição (i,j) do produto é o produto escalar da linha i da primeira pela coluna j da segunda. Aqui queremos A^{T}A (produto 2\times3 por 3\times2), que resulta numa matriz 2\times2. Vou calcular cada entrada:
Entrada (1,1): produto escalar da primeira linha de A^{T} com a primeira coluna de A:
(1,1)=1\cdot1+3\cdot3+5\cdot5=1+9+25=35.
Entrada (1,2): produto escalar da primeira linha de A^{T} com a segunda coluna de A:
(1,2)=1\cdot2+3\cdot4+5\cdot6=2+12+30=44.
Entrada (2,1): produto escalar da segunda linha de A^{T} com a primeira coluna de A (deve ser igual a (1,2) porque veremos que a matriz é simétrica):
(2,1)=2\cdot1+4\cdot3+6\cdot5=2+12+30=44.
Entrada (2,2): produto escalar da segunda linha de A^{T} com a segunda coluna de A:
Comentário didático: por ser produto do tipo A^{T}A, essa matriz é positiva semidefinida, então todos os autovalores são reais e não negativos. Aqui encontramos dois autovalores positivos (um grande e um pequeno positivo).]
Passo 4
Responder se A^{T}A é singular. Uma matriz é singular se e somente se seu determinante for zero, ou, equivalentemente, se zero for autovalor. Podemos usar qualquer uma das abordagens:
Pela forma já calculada, o determinante de A^{T}A é o termo constante do polinômio característico (para 2\times2, \det(A^{T}A)=\lambda_{1}\lambda_{2}). Calculamos anteriormente que a constante do polinômio foi 24, logo
\det(A^{T}A)=24\neq0.
Portanto A^{T}A não é singular.
Outra justificativa (intuitiva e útil para a prova): A tem duas colunas que não são múltiplas uma da outra (por exemplo, a razão entre componentes das colunas não é constante: 2/1\ne4/3), logo as duas colunas são linearmente independentes e \operatorname{rank}(A)=2. Para uma matriz A de tamanho 3\times2, isso implica \operatorname{rank}(A)=2, e então \operatorname{rank}(A^{T}A)=2. Como A^{T}A é 2\times2 e tem posto 2, é invertível e, portanto, não singular.
Resumo da justificativa: determinante 24\neq0 ou, equivalentemente, nenhum autovalor é zero, portanto A^{T}A é invertível (não singular).