Encontre uma matriz A não quadrada cujas colunas sejam linearmente dependentes e tal que A^{T} A seja singular.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente uma matriz A que satisfaça duas condições:
A deve ser não quadrada (ou seja, o número de linhas é diferente do número de colunas).
As colunas de A devem ser linearmente dependentes e, além disso, deve acontecer que A^{T}A seja singular.
Informações relevantes dadas (resumindo o que precisamos produzir):
Precisamos fornecer uma matriz concreta A com as propriedades acima.
Não há restrição adicional sobre tamanho ou valores, apenas que A não seja quadrada e as colunas sejam dependentes.
Passo 2
Vou explicar de forma clara o que significa “colunas linearmente dependentes” e o que significa “matriz singular”, porque isso é o que vamos usar para construir A.
Definição de colunas linearmente dependentes: as colunas de uma matriz A são vetores em \mathbb{R}^{m} (se A é m\times n). Dizer que as colunas são linearmente dependentes significa que existe um vetor coluna não nulo c\in\mathbb{R}^{n}, c\neq 0, tal que
A c = 0.
Aqui A c é uma combinação linear das colunas de A com coeficientes dados por c. Se essa combinação linear dá o vetor zero com c\neq 0, então as colunas são dependentes.
Definição de matriz singular: uma matriz quadrada M é singular se não for invertível, o que é equivalente a ter determinante zero ou ter um vetor não nulo x tal que
M x = 0.
Passo 3
Relação útil entre dependência das colunas de A e singularidade de A^{T}A (essa é a ideia central que vamos usar):
Se existe c\neq 0 com A c = 0, então multiplicando à esquerda por A^{T} obtemos
A^{T}A c = A^{T}(A c) = A^{T}0 = 0.
Portanto A^{T}A tem um vetor não nulo c no seu núcleo, logo A^{T}A é singular.
Conclusão prática: basta escolher qualquer matriz não quadrada A cujas colunas sejam linearmente dependentes; automaticamente A^{T}A será singular. Agora vamos construir um exemplo simples e verificar tudo passo a passo.
Passo 4
Escolhendo uma matriz simples não quadrada com colunas dependentes. Uma escolha muito direta é tomar A com duas linhas e três colunas, de modo que as três colunas sejam múltiplos umas da outra (então ficam claramente dependentes). Por exemplo, defina
Note que v_{2}=2v_{1} e v_{3}=3v_{1}. Portanto as colunas são linearmente dependentes (todas estão na mesma direção).]
Passo 5
Verificação explícita de dependência e singularidade de A^{T}A.
Há um vetor não nulo c com A c=0. Por exemplo, escolha
c=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
pois
A c = -3v_{1}+0\cdot v_{2}+1\cdot v_{3} = -3v_{1}+v_{3}= -3v_{1}+3v_{1}=0.
Assim A c=0 com c\neq 0, confirmando a dependência das colunas.
Pelo argumento do Passo 3 segue que
A^{T}A c = 0,
portanto c é vetor próprio de A^{T}A associado ao autovalor 0. Isso mostra que A^{T}A é singular.
Para ver A^{T}A explicitamente, calculemos os produtos internos das colunas. Como v_{1}\cdot v_{1}=1^{2}+2^{2}=5, v_{1}\cdot v_{2}=10, v_{1}\cdot v_{3}=15 etc., obtemos
Essa matriz tem todas as linhas proporcionais (segunda linha =2 vezes a primeira, terceira linha =3 vezes a primeira), logo tem posto 1 e determinante zero — ou seja, é singular.]
Passo 6
Resumo e incentivo: construímos uma matriz não quadrada \,A\in\mathbb{R}^{2\times 3} cujas colunas são múltiplos umas das outras, portanto linearmente dependentes; mostramos um vetor c\neq 0 com A c=0 e daí concluímos que A^{T}A é singular. Esse é um exemplo simples que você pode reproduzir na prova: sempre que as colunas forem dependentes existe um vetor não nulo c com A c=0 e, multiplicando por A^{T}, obtém-se A^{T}A c=0, provando a singularidade de A^{T}A.