a) Mostre que U=\operatorname{span}\{u, v\} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
b) Mostre que (0,0,1) \notin U.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
u=(1,1,-2),\qquad v=(2,-1,-1)
e pede duas coisas:
a) mostrar que U=\operatorname{span}\{u,v\} é um subespaço de \mathbb{R}^3;
b) mostrar que (0,0,1)\notin U.
Informações relevantes: U é, por definição, o conjunto de todas as combinações lineares de u e v, isto é, todos os vetores da forma a\,u+b\,v com a,b\in\mathbb{R}.
Passo 2
Para começar, vamos escrever explicitamente uma combinação linear genérica de u e v. Se a,b\in\mathbb{R}, então
a\,u+b\,v = a(1,1,-2)+b(2,-1,-1).
Agora distribuo o escalar nas componentes (mostrando passo a passo como multiplicar escalares por vetores e somar vetores):
Essa expressão é importante: qualquer vetor de U tem essa forma para algum par (a,b).
Passo 3
Mostrar que U é subespaço significa verificar duas propriedades (além de ser não vazio): fechado por soma e fechado por multiplicação escalar. Primeiro, não vazio: escolho a=0 e b=0. Então
0\cdot u + 0\cdot v = (0,0,0),
logo (0,0,0)\in U. Ou seja, U contém o vetor zero.
Passo 4
Fechamento por adição. Tome dois vetores quaisquer de U:
Como (a_1+a_2) e (b_1+b_2) são reais, a soma é novamente uma combinação linear de u e v, ou seja, w_1+w_2\in U. Assim U é fechado por soma.
Passo 5
Fechamento por multiplicação escalar. Tome w=a u + b v\in U e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda w = \lambda(a u + b v) = (\lambda a)u + (\lambda b)v,
pela distributividade do produto escalar. Novamente \lambda a e \lambda b são escalares reais, logo \lambda w é uma combinação linear de u e v e pertence a U. Portanto U é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Concluindo a parte (a): já mostramos que U contém o vetor zero, que é fechado por soma e por multiplicação escalar. Essas três propriedades são exatamente as que definem um subespaço linear. Logo U=\operatorname{span}\{u,v\} é um subespaço de \mathbb{R}^3. (Como comentário extra rápido: em geral, o conjunto span de quaisquer vetores de um espaço vetorial é sempre um subespaço — aqui acabamos de verificar isso passo a passo.)
Passo 7
Agora a parte (b): testar se (0,0,1) está em U. Pelo passo 2, (0,0,1)\in U se, e somente se, existirem a,b\in\mathbb{R} tais que
a\,u+b\,v = (0,0,1).
Usando a fórmula das componentes obtida antes, isso gera o sistema de equações
Então a=b=0. Agora verifico a terceira equação com esses valores:
-2a-b = -2\cdot 0 - 0 = 0,
mas a terceira equação exige que isso seja 1. Como 0\neq 1, temos uma contradição: não existem a,b que satisfaçam simultaneamente as três equações.
Passo 9
Portanto não existe combinação linear de u e v que produza (0,0,1). Em outras palavras, (0,0,1)\notin U. (Intuição rápida: qualquer vetor em U tem terceira componente da forma -2a-b; tentar resolver para obter 1 força a=b=0 pelas duas primeiras equações, e aí a terceira componente fica 0, não 1.)
Resposta
U=\operatorname{span}\{u,v\} é um subespaço de \mathbb{R}^3.\n(0,0,1)\notin U.